Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện theo quy trình 3 bước:

Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn (ví dụ: số người, số ngày thuộc $\mathbb{N}^*$; vận tốc, thời gian, kích thước lớn hơn $0$; chữ số là số tự nhiên từ $0$ đến $9$...).

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

• Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng để tạo thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Giải hệ phương trình

• Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm $(x; y)$ của hệ phương trình.

Bước 3: Trả lời (Kiểm tra và kết luận)

• Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn ở Bước 1.

• Kết luận đáp số chính xác theo yêu cầu của đề bài (kèm theo đơn vị nếu có).

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Toán tìm số (cấu tạo số)

Kiến thức bổ trợ:

• Số có hai chữ số $\overline{ab} = 10a + b$ (Điều kiện: $a, b \in \mathbb{N}$; $1 \le a \le 9$; $0 \le b \le 9$).

• Khi viết xen chữ số hoặc đổi chỗ hai chữ số, ta biểu diễn số mới tương tự theo cấu tạo thập phân.

Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng $12$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số đã cho là $18$ đơn vị.

Lời giải:

• Gọi chữ số hàng chục là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y$.

• Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}$; $1 \le x \le 9$; $0 \le y \le 9$.

• Số tự nhiên ban đầu là $\overline{xy} = 10x + y$.

• Vì tổng hai chữ số bằng $12$ nên ta có phương trình: $x + y = 12$ $(1)$.

• Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là $\overline{yx} = 10y + x$.

• Vì số mới lớn hơn số đã cho $18$ đơn vị nên ta có phương trình:

  $$(10y + x) - (10x + y) = 18 \Leftrightarrow -9x + 9y = 18 \Leftrightarrow -x + y = 2 \quad (2)$$

• Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + y = 12 \\ -x + y = 2 \end{cases}$$

• Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2y = 14 \Leftrightarrow y = 7$.

• Thay $y = 7$ vào phương trình $(1)$, ta được: $x + 7 = 12 \Leftrightarrow x = 5$.

• Kiểm tra điều kiện: $x = 5$ và $y = 7$ đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

• Vậy: Số tự nhiên cần tìm là $57$.

Dạng 2: Toán chuyển động

Kiến thức bổ trợ:

• Công thức cơ bản: $S = v \cdot t$ (Quãng đường = Vận tốc $\times$ Thời gian).

• Chuyển động trên dòng nước:

  • $v_{\text{xuôi}} = v_{\text{thực}} + v_{\text{nước}}$

  • $v_{\text{ngược}} = v_{\text{thực}} - v_{\text{nước}}$ (Điều kiện: $v_{\text{thực}} > v_{\text{nước}} > 0$).

Ví dụ 2: Một ca nô chạy xuôi dòng trên một khúc sông dài $60\text{ km}$, sau đó chạy ngược dòng $48\text{ km}$ trên khúc sông đó thì hết tổng cộng $6\text{ giờ}$. Nếu ca nô đó chạy xuôi dòng $40\text{ km}$ và ngược dòng $80\text{ km}$ thì hết tổng cộng $7\text{ giờ}$. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi).

Lời giải:

• Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x\text{ (km/h)}$ và vận tốc của dòng nước là $y\text{ (km/h)}$.

• Điều kiện: $x > y > 0$.

• Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là $x + y\text{ (km/h)}$, khi ngược dòng là $x - y\text{ (km/h)}$.

• Thời gian ca nô xuôi dòng $60\text{ km}$ và ngược dòng $48\text{ km}$ hết $6\text{ giờ}$ nên ta có phương trình:

  $$\frac{60}{x + y} + \frac{48}{x - y} = 6 \quad (1)$$

• Thời gian ca nô xuôi dòng $40\text{ km}$ và ngược dòng $80\text{ km}$ hết $7\text{ giờ}$ nên ta có phương trình:

  $$\frac{40}{x + y} + \frac{80}{x - y} = 7 \quad (2)$$

• Đặt $u = \frac{1}{x + y}$ và $v = \frac{1}{x - y}$ ($u > 0, v > 0$), hệ phương trình trở thành:

  $$\begin{cases} 60u + 48v = 6 \\ 40u + 80v = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 10u + 8v = 1 \\ 40u + 80v = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 40u + 32v = 4 \\ 40u + 80v = 7 \end{cases}$$

• Trừ từng vế hai phương trình, ta được: $48v = 3 \Leftrightarrow v = \frac{1}{16}$ (thỏa mãn).

• Thay $v = \frac{1}{16}$ vào $10u + 8v = 1$: $10u + 8 \cdot \frac{1}{16} = 1 \Leftrightarrow 10u = \frac{1}{2} \Leftrightarrow u = \frac{1}{20}$ (thỏa mãn).

• Trả lại ẩn ban đầu, ta có hệ:

  $$\begin{cases} \frac{1}{x + y} = \frac{1}{20} \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{16} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 36 \\ x - y = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 18 \\ y = 2 \end{cases}$$

• Kiểm tra điều kiện: $x = 18$ và $y = 2$ thỏa mãn $x > y > 0$.

• Vậy: Vận tốc riêng của ca nô là $18\text{ km/h}$ và vận tốc của dòng nước là $2\text{ km/h}$.

Dạng 3: Toán năng suất (Làm chung – Làm riêng)

Kiến thức bổ trợ:

• Coi toàn bộ công việc hoàn thành là $1$ (đơn vị công việc).

• Nếu đội I làm một mình xong công việc trong $x$ (ngày) thì mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Ví dụ 3: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong $12\text{ ngày}$ thì xong. Nếu đội I làm một mình trong $5\text{ ngày}$ rồi nghỉ, đội II tiếp tục làm trong $15\text{ ngày}$ thì cả hai đội mới hoàn thành được $75\%$ công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Lời giải:

• Gọi thời gian đội I làm một mình xong đoạn đường là $x\text{ (ngày)}$, đội II làm một mình xong đoạn đường là $y\text{ (ngày)}$.

• Điều kiện: $x > 12, y > 12$.

• Trong $1\text{ ngày}$, đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), đội II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

• Hai đội làm chung trong $12\text{ ngày}$ thì xong toàn bộ công việc ($1$ công việc) nên trong $1\text{ ngày}$ cả hai đội làm được $\frac{1}{12}$ (công việc):

  $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \quad (1)$$

• Đội I làm $5\text{ ngày}$ được $\frac{5}{x}$ (công việc), đội II làm $15\text{ ngày}$ được $\frac{15}{y}$ (công việc). Cả hai hoàn thành $75\% = \frac{3}{4}$ công việc nên ta có phương trình:

  $$\frac{5}{x} + \frac{15}{y} = \frac{3}{4} \quad (2)$$

• Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ ($u > 0, v > 0$), ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} u + v = \frac{1}{12} \\ 5u + 15v = \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u + 5v = \frac{5}{12} \\ 5u + 15v = \frac{3}{4} \end{cases}$$

• Trừ từng vế hai phương trình, ta được:

  $$10v = \frac{3}{4} - \frac{5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow v = \frac{1}{30}$$

• Thay $v = \frac{1}{30}$ vào $u + v = \frac{1}{12}$:

  $$u = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5 - 2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$$

• Suy ra: $\frac{1}{x} = \frac{1}{20} \Rightarrow x = 20$ và $\frac{1}{y} = \frac{1}{30} \Rightarrow y = 30$ (thỏa mãn điều kiện).

• Vậy: Làm một mình, đội I hoàn thành công việc trong $20\text{ ngày}$, đội II hoàn thành trong $30\text{ ngày}$.

Dạng 4: Toán phần trăm – Tăng giảm năng suất

Kiến thức bổ trợ:

• Số sản phẩm thực tế = Số sản phẩm kế hoạch $\times (100\% + a\%)$ nếu vượt mức $a\%$.

• Số sản phẩm thực tế = Số sản phẩm kế hoạch $\times (100\% - b\%)$ nếu giảm mức $b\%$.

Ví dụ 4: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được $800$ chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức $15\%$, tổ II vượt mức $20\%$ so với tháng đầu, do đó cả hai tổ sản xuất được $945$ chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Lời giải:

• Gọi số chi tiết máy tổ I và tổ II sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là $x$ và $y$ (chi tiết máy).

• Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}^*$; $x < 800, y < 800$.

• Tháng đầu cả hai tổ sản xuất được $800$ chi tiết máy nên: $x + y = 800$ $(1)$.

• Tháng thứ hai:

  • Tổ I vượt mức $15\%$ nên làm thêm được $15\%x = 0,15x$ (chi tiết máy).

  • Tổ II vượt mức $20\%$ nên làm thêm được $20\%y = 0,2y$ (chi tiết máy).

  • Tổng số chi tiết máy làm thêm vượt kế hoạch là $945 - 800 = 145$ (chi tiết máy), ta có phương trình:

    $$0,15x + 0,2y = 145 \quad (2)$$

• Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + y = 800 \\ 0,15x + 0,2y = 145 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0,2x + 0,2y = 160 \\ 0,15x + 0,2y = 145 \end{cases}$$

• Trừ từng vế hai phương trình: $0,05x = 15 \Leftrightarrow x = 300$ (thỏa mãn).

• Thay $x = 300$ vào $(1)$: $y = 800 - 300 = 500$ (thỏa mãn).

• Vậy: Trong tháng đầu, tổ I sản xuất được $300$ chi tiết máy, tổ II sản xuất được $500$ chi tiết máy.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $64\text{ m}$. Nếu tăng chiều dài thêm $2\text{ m}$ và tăng chiều rộng thêm $3\text{ m}$ thì diện tích mảnh vườn tăng thêm $88\text{ m}^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài 2: Nhân dịp khai giảng, bạn Nam đi nhà sách mua $10$ quyển vở và $5$ chiếc bút bi hết tổng cộng $115\,000\text{ đồng}$. Bạn Lan cũng mua tại nhà sách đó $8$ quyển vở và $6$ chiếc bút bi cùng loại hết $102\,000\text{ đồng}$. Tính giá tiền mỗi quyển vở và mỗi chiếc bút bi.

Bài 3: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau $150\text{ km}$, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $1\text{ giờ } 30\text{ phút}$. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng thêm $15\text{ km/h}$ thì bằng $2$ lần vận tốc của ô tô đi từ B.

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1:

• Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $x\text{ (m)}$ và $y\text{ (m)}$.

• Điều kiện: $x > y > 0$.

• Chu vi mảnh vườn là $64\text{ m}$ nên nửa chu vi là: $x + y = 32$ $(1)$.

• Diện tích ban đầu là $xy\text{ (m}^2)$. Khi tăng chiều dài $2\text{ m}$ và chiều rộng $3\text{ m}$, diện tích mới là $(x + 2)(y + 3)\text{ (m}^2)$.

• Diện tích tăng thêm $88\text{ m}^2$ nên ta có phương trình:

  $$(x + 2)(y + 3) - xy = 88 \Leftrightarrow xy + 3x + 2y + 6 - xy = 88 \Leftrightarrow 3x + 2y = 82 \quad (2)$$

• Giải hệ gồm $(1)$ và $(2)$:

  $$\begin{cases} x + y = 32 \\ 3x + 2y = 82 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 2y = 64 \\ 3x + 2y = 82 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 18 \\ y = 14 \end{cases}$$

• Kiểm tra: $18 > 14 > 0$ (thỏa mãn).

• Đáp số: Chiều dài là $18\text{ m}$, chiều rộng là $14\text{ m}$.

Lời giải Bài 2:

• Gọi giá tiền $1$ quyển vở là $x\text{ (đồng)}$ và giá tiền $1$ chiếc bút bi là $y\text{ (đồng)}$ ($x > 0, y > 0$).

• Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình:

  $$\begin{cases} 10x + 5y = 115\,000 \\ 8x + 6y = 102\,000 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x + y = 23\,000 \\ 4x + 3y = 51\,000 \end{cases}$$

• Từ phương trình đầu rút $y = 23\,000 - 2x$, thế vào phương trình thứ hai:

  $$4x + 3(23\,000 - 2x) = 51\,000 \Leftrightarrow -2x + 69\,000 = 51\,000 \Leftrightarrow 2x = 18\,000 \Leftrightarrow x = 9\,000$$

• Suy ra: $y = 23\,000 - 2 \cdot 9\,000 = 5\,000$ (thỏa mãn).

• Đáp số: Mỗi quyển vở giá $9\,000\text{ đồng}$, mỗi chiếc bút bi giá $5\,000\text{ đồng}$.

Lời giải Bài 3:

• Đổi $1\text{ giờ } 30\text{ phút} = 1,5\text{ giờ}$.

• Gọi vận tốc của ô tô đi từ A là $x\text{ (km/h)}$, vận tốc của ô tô đi từ B là $y\text{ (km/h)}$ ($x > 0, y > 0$).

• Hai xe đi ngược chiều gặp nhau sau $1,5\text{ giờ}$ trên quãng đường $150\text{ km}$ nên:

  $$1,5x + 1,5y = 150 \Leftrightarrow x + y = 100 \quad (1)$$

• Vận tốc ô tô A tăng thêm $15\text{ km/h}$ bằng $2$ lần vận tốc ô tô B nên:

  $$x + 15 = 2y \Leftrightarrow x - 2y = -15 \quad (2)$$

• Giải hệ gồm $(1)$ và $(2)$:

  $$\begin{cases} x + y = 100 \\ x - 2y = -15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3y = 115 \\ x + y = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = \frac{115}{3} \\ x = \frac{185}{3} \end{cases}$$

• (Lưu ý: Nếu đề bài sửa lại vận tốc ô tô A tăng $20\text{ km/h}$ thì nghiệm sẽ nguyên đẹp là $x = 60\text{ km/h}, y = 40\text{ km/h}$; với số liệu $15\text{ km/h}$ nghiệm đúng là phân số như trên).

• Đáp số: Vận tốc ô tô đi từ A là $\frac{185}{3}\text{ km/h}$ ($61\frac{2}{3}\text{ km/h}$), vận tốc ô tô đi từ B là $\frac{115}{3}\text{ km/h}$ ($38\frac{1}{3}\text{ km/h}$).