Ôn tập chương 2 - lớp 9

Đăng nhập

Ôn tập chương 2

(Toán 9 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

Phương trình tích: Có dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$.
- Cách giải: $A(x) \cdot B(x) = 0 \Longleftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
- Phương pháp đưa về phương trình tích: Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái (vế phải bằng $0$), phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử...).
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (cho tất cả các mẫu thức khác $0$).
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu (suy ra phương trình hệ quả).
- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4: Đối chiếu các giá trị tìm được với ĐKXĐ: giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ mới là nghiệm của phương trình đã cho.

Khái niệm: Hệ thức dạng $a < b$ (hoặc $a > b$, $a \le b$, $a \ge b$) gọi là bất đẳng thức ($a$ là vế trái, $b$ là vế phải).
Tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số $c$ vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều:

$$a < b \Longleftrightarrow a + c < b + c$$
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
- Nhân cả hai vế với số dương ($c > 0$) $\rightarrow$ giữ nguyên chiều: $a < b \Longleftrightarrow ac < bc$.
- Nhân cả hai vế với số âm ($c < 0$) $\rightarrow$ đổi chiều: $a < b \Longleftrightarrow ac > bc$.

Định nghĩa: Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$, $ax + b \le 0$), với $a, b$ là hai số đã cho và $a \ne 0$.
Quy tắc biến đổi:
- Quy tắc chuyển vế: Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia thì phải đổi dấu hạng tử đó và giữ nguyên chiều bất đẳng thức.
- Quy tắc nhân (chia): Nhân/chia cả hai vế với cùng một số khác $0$: giữ nguyên chiều nếu số đó dương, đổi chiều nếu số đó âm.
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
- Dùng ngoặc vuông [ hoặc ] khi lấy cả điểm đầu mút ($\ge$ hoặc $\le$).
- Dùng ngoặc tròn ( hoặc ) khi không lấy điểm đầu mút ($>$ hoặc $<$).
- Gạch bỏ phần không thuộc tập nghiệm.

SVG

Phương pháp:
- Với phương trình tích: Đưa về dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$ rồi giải từng phương trình $A(x) = 0$ và $B(x) = 0$.
- Với phương trình chứa ẩn ở mẫu: Luôn đặt ĐKXĐ trước khi khử mẫu và kiểm tra lại nghiệm ở bước cuối cùng để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1: Giải phương trình: $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{8}{x^2 - 1}$

Lời giải:
- ĐKXĐ: $x^2 - 1 \ne 0 \Longleftrightarrow x \ne 1$ và $x \ne -1$.
- Quy đồng mẫu thức hai vế với mẫu chung là $(x - 1)(x + 1)$:
  
  $$\frac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{8}{(x - 1)(x + 1)}$$
- Khử mẫu ta được phương trình:
  
  $$(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 8$$
  
  $$\Longleftrightarrow (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 8$$
  
  $$\Longleftrightarrow 4x = 8 \Longleftrightarrow x = 2$$
- Đối chiếu ĐKXĐ: $x = 2$ thỏa mãn $x \ne \pm 1$.
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 2$.

Phương pháp: Xuất phát từ bất đẳng thức đã cho, áp dụng liên tiếp tính chất cộng hai vế với cùng một số và nhân hai vế với cùng một số dương/âm (nhớ đổi chiều khi nhân số âm), kết hợp tính chất bắc cầu.
Ví dụ 2: Cho $a < b$. Hãy so sánh $-3a + 5$ và $-3b + 2$.

Lời giải:
- Vì $a < b$ và $-3 < 0$, nhân cả hai vế với $-3$ và đổi chiều bất đẳng thức ta được:
  
  $$-3a > -3b$$
- Cộng cả hai vế với $5$, ta có:
  
  $$-3a + 5 > -3b + 5 \quad (1)$$
- Mặt khác, vì $5 > 2$ nên cộng cả hai vế với $-3b$, ta có:
  
  $$-3b + 5 > -3b + 2 \quad (2)$$
- Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu suy ra: $-3a + 5 > -3b + 2$.

Phương pháp: Quy đồng khử mẫu (nếu mẫu dương thì giữ nguyên chiều), chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, hằng số sang vế kia, rút gọn về dạng $ax > b$ (hoặc $<, \ge, \le$) rồi chia cả hai vế cho $a$.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} < 1$ và tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình đó.

Lời giải:
- Quy đồng mẫu hai vế với mẫu số chung là $6 > 0$ và khử mẫu:
  
  $$2(2x - 1) - 3(x + 2) < 6$$
  
  $$\Longleftrightarrow 4x - 2 - 3x - 6 < 6$$
  
  $$\Longleftrightarrow x - 8 < 6$$
  
  $$\Longleftrightarrow x < 14$$
- Vậy bất phương trình có nghiệm là $x < 14$.
- Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x < 14$ nên nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là $x = 13$.

Phương pháp: Đặt ẩn và điều kiện thực tế cho đại lượng cần tìm, biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn, thiết lập bất phương trình dựa vào các từ khóa giới hạn (ít nhất, tối thiểu $\rightarrow \ge$; nhiều nhất, tối đa, không vượt quá $\rightarrow \le$), giải và kết luận.
Ví dụ 4: Trong một kỳ thi tuyển sinh gồm hai môn Toán (hệ số 2) và Ngữ văn (hệ số 1), thí sinh muốn trúng tuyển phải đạt tổng điểm quy đổi từ $21$ điểm trở lên. Bạn Hà đã đạt $7,5$ điểm môn Ngữ văn. Hỏi bạn Hà cần đạt ít nhất bao nhiêu điểm môn Toán để trúng tuyển?

Lời giải:
- Gọi điểm môn Toán của bạn Hà là $x$ (điểm), điều kiện: $0 \le x \le 10$.
- Tổng điểm quy đổi của bạn Hà là $2x + 7,5$.
- Để trúng tuyển thì tổng điểm phải đạt từ $21$ điểm trở lên nên ta có bất phương trình:
  
  $$2x + 7,5 \ge 21 \Longleftrightarrow 2x \ge 13,5 \Longleftrightarrow x \ge 6,75$$
- Đối chiếu điều kiện: $6,75 \le x \le 10$.
- Vậy bạn Hà cần đạt ít nhất $6,75$ điểm môn Toán để trúng tuyển.