Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

Cho đường tròn $(O; R)$ và cung tròn có số đo $n^\circ$ ($0 < n \le 360$):

1. Độ dài đường tròn và độ dài cung tròn:

   • Chu vi (độ dài) đường tròn: $C = 2\pi R = \pi d$ (với $d = 2R$ là đường kính).

   • Độ dài $l$ của cung tròn $n^\circ$:

     $$l = \frac{\pi R n}{180}$$

2. Diện tích hình tròn và hình quạt tròn:

   • Diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$.

   • Hình quạt tròn: Là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

   • Diện tích $S_q$ của hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^\circ$:

     $$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}$$

3. Diện tích hình vành khuyên:

   • Hình vành khuyên: Là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$ ($R > r$).

   • Diện tích $S_v$ của hình vành khuyên:

     $$S_v = \pi(R^2 - r^2)$$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn

Cho đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và hình quạt tròn $OAB$ có góc ở tâm $\widehat{AOB} = 60^\circ$. Tính độ dài cung nhỏ $AB$ và diện tích hình quạt tròn $OAB$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất, lấy $\pi \approx 3,14$).

• Giải:

  • Độ dài cung nhỏ $AB$ là:

    $$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = 2\pi \approx 6,3\text{ (cm)}$$

  • Diện tích hình quạt tròn $OAB$ là:

    $$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = 6\pi \approx 18,8\text{ (cm}^2)$$

Ví dụ 2: Tính diện tích hình vành khuyên

Một chiếc đĩa CD có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm $(O; 6\text{ cm})$ và $(O; 2\text{ cm})$. Tính diện tích bề mặt của chiếc đĩa CD đó (lấy $\pi \approx 3,14$).

• Giải:

  • Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và $(O; 2\text{ cm})$ là:

    $$S_v = \pi(R^2 - r^2) = \pi(6^2 - 2^2) = \pi(36 - 4) = 32\pi \approx 32 \cdot 3,14 = 100,48\text{ (cm}^2)$$

III. Bài tập tự luyện

Đề bài

Bài 1: Tính độ dài cung $120^\circ$ và diện tích hình quạt tròn tương ứng của một đường tròn có bán kính $R = 9\text{ cm}$ (viết kết quả theo $\pi$).

Bài 2: Một hình quạt tròn có bán kính $R = 10\text{ cm}$ và độ dài cung tròn giới hạn hình quạt đó bằng $4\pi\text{ cm}$. Tính diện tích và số đo góc ở tâm của hình quạt tròn này.

Bài 3 (Vận dụng thực tế): Một vườn hoa hình tròn có bán kính $5\text{ m}$. Người ta làm một lối đi rộng $1\text{ m}$ chạy xung quanh bên ngoài vườn hoa đó. Tính diện tích phần lối đi (lấy $\pi \approx 3,14$).

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1:

• Độ dài cung $120^\circ$: $l = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 120}{180} = 6\pi\text{ (cm)}$.

• Diện tích hình quạt tròn: $S_q = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 120}{360} = 27\pi\text{ (cm}^2)$.

Lời giải Bài 2:

• Diện tích hình quạt tròn: $S_q = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{4\pi \cdot 10}{2} = 20\pi\text{ (cm}^2)$.

• Từ công thức $l = \frac{\pi R n}{180} \Rightarrow 4\pi = \frac{\pi \cdot 10 \cdot n}{180} \Rightarrow n = \frac{4 \cdot 180}{10} = 72^\circ$.

Lời giải Bài 3:

• Phần lối đi là hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính trong $r = 5\text{ m}$ và bán kính ngoài $R = 5 + 1 = 6\text{ (m)}$.

• Diện tích phần lối đi là: $S_v = \pi(R^2 - r^2) = \pi(6^2 - 5^2) = 11\pi \approx 11 \cdot 3,14 = 34,54\text{ (m}^2)$.