Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

Cho hai đường tròn phân biệt $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$. Đặt $d = OO'$ là đoạn nối tâm (khoảng cách giữa hai tâm).

II. Ví dụ minh họa (Kèm mã SVG chuẩn tỷ lệ)

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn dựa vào đoạn nối tâm

Cho hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp: a) $OO' = 8\text{ cm}$ b) $OO' = 2\text{ cm}$ c) $OO' = 6\text{ cm}$

• Giải: Ta có $R + r = 5 + 3 = 8\text{ (cm)}$ và $R - r = 5 - 3 = 2\text{ (cm)}$.

  • a) Vì $OO' = 8\text{ cm} = R + r \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

  • b) Vì $OO' = 2\text{ cm} = R - r \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc trong.

  • c) Vì $2\text{ cm} < 6\text{ cm} < 8\text{ cm}$ ($R - r < OO' < R + r$) $\Rightarrow$ Hai đường tròn cắt nhau.

Ví dụ 1 (Trường hợp a: Tiếp xúc ngoài và b: Tiếp xúc trong):

Ví dụ 2: Hai đường tròn cắt nhau

Cho hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Biết dây chung $AB = 6\text{ cm}$ và $O, O'$ nằm khác phía đối với $AB$. Tính độ dài đoạn nối tâm $OO'$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

• Giải:

  • Gọi $H$ là giao điểm của $OO'$ và $AB$. Vì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung nên $OO' \perp AB$ tại $H$ và $HA = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ (cm)}$.

  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OHA$ vuông tại $H$:

    $$OH = \sqrt{OA^2 - HA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\text{ (cm)}$$

  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle O'HA$ vuông tại $H$:

    $$O'H = \sqrt{O'A^2 - HA^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} \approx 2,65\text{ (cm)}$$

  • Vì $O$ và $O'$ nằm khác phía đối với $AB$ nên $H$ nằm giữa $O$ và $O'$:

    $$OO' = OH + O'H = 4 + \sqrt{7} \approx 6,65\text{ (cm)}$$

Ví dụ 2:

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải ngắn gọn)

Đề bài

Bài 1: Điền vị trí tương đối thích hợp của hai đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ vào bảng sau: a) $OO' = 12\text{ cm}$ b) $OO' = 10\text{ cm}$ c) $OO' = 5\text{ cm}$ d) $OO' = 2\text{ cm}$ e) $OO' = 1\text{ cm}$

Bài 2: Cho hai đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ của hai đường tròn ($B \in (O)$, $C \in (O')$). Tính độ dài đoạn thẳng $BC$.

Bài 3 (Vận dụng thực tế): Hai bánh răng của một hệ thống truyền động ăn khớp ngoài với nhau có bán kính lần lượt là $R = 12\text{ cm}$ và $r = 5\text{ cm}$. Tính khoảng cách giữa hai trục quay của hai bánh răng đó.

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1: (Ta có $R + r = 10\text{ cm}$ và $R - r = 2\text{ cm}$)

• a) $OO' = 12 > 10 \Rightarrow$ Hai đường tròn ngoài nhau.

• b) $OO' = 10 = R + r \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

• c) $2 < OO' = 5 < 10 \Rightarrow$ Hai đường tròn cắt nhau.

• d) $OO' = 2 = R - r \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc trong.

• e) $OO' = 1 < 2 \Rightarrow$ Hai đường tròn đựng nhau.

Lời giải Bài 2:

• Vì $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $OO' = R + r = 8 + 3 = 11\text{ (cm)}$.

• Kẻ $O'H \perp OB$ tại $H$. Vì $OB \perp BC$ và $O'C \perp BC$ nên tứ giác $O'HBC$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BC = O'H$ và $BH = O'C = 3\text{ cm}$.

• Suy ra $OH = OB - BH = 8 - 3 = 5\text{ (cm)}$.

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OHO'$ vuông tại $H$:

  $$BC = O'H = \sqrt{OO'^2 - OH^2} = \sqrt{11^2 - 5^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\text{ (cm)}$$

Lời giải Bài 3:

• Hai bánh răng ăn khớp ngoài tương ứng với hai đường tròn tiếp xúc ngoài, nên khoảng cách giữa hai trục quay là: $d = R + r = 12 + 5 = 17\text{ (cm)}$.