Bài 13: Mở đầu về đường tròn - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

1. Khái niệm đường tròn: Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ($R > 0$), kí hiệu $(O; R)$ hoặc $(O)$, là hình gồm tất cả các điểm cách điểm $O$ một khoảng bằng $R$.

2. Vị trí tương đối của một điểm $M$ đối với đường tròn $(O; R)$:

   • $OM < R \Leftrightarrow M$ nằm trong $(O; R)$.

   • $OM = R \Leftrightarrow M$ nằm trên (thuộc) $(O; R)$.

   • $OM > R \Leftrightarrow M$ nằm ngoài $(O; R)$.

3. Tính đối xứng của đường tròn:

   • Tâm đối xứng: Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

   • Trục đối xứng: Đường tròn là hình có trục đối xứng; bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông (mở rộng cơ bản): Tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, bán kính bằng nửa cạnh huyền.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Vị trí tương đối của điểm và đường tròn): Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(3; 4)$ và đường tròn $(O; 5)$. Xác định vị trí của điểm $A$ đối với đường tròn $(O; 5)$.

• Giải: Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0; 0)$ đến $A(3; 4)$ là:

  $$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

  Vì $OA = R = 5$ nên điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O; 5)$.

 

Ví dụ 2 (Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn): Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$. Chứng minh bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó.

• Giải:

  • Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Theo tính chất hình chữ nhật, ta có $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC$.

  • Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$, bán kính $R = \frac{1}{2}AC$.

  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $B$:

    $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ (cm)} \Rightarrow R = \frac{10}{2} = 5\text{ (cm)}$$

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải ngắn gọn)

Đề bài

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và ba điểm $M, N, P$ sao cho $OM = 4\text{ cm}$, $ON = 6\text{ cm}$, $OP = 7,5\text{ cm}$. Xác định vị trí của mỗi điểm $M, N, P$ đối với $(O; 6\text{ cm})$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh bốn điểm $B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó biết $BC = 10\text{ cm}$.

Bài 3 (Vận dụng): Một chiếc đĩa tròn bằng sứ bị vỡ chỉ còn lại một mảnh cung tròn. Làm thế nào để xác định lại tâm của chiếc đĩa tròn ban đầu bằng compa và thước thẳng?

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1:

• $OM = 4\text{ cm} < 6\text{ cm} \Rightarrow M$ nằm trong đường tròn $(O)$.

• $ON = 6\text{ cm} = R \Rightarrow N$ nằm trên đường tròn $(O)$.

• $OP = 7,5\text{ cm} > 6\text{ cm} \Rightarrow P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$.

Lời giải Bài 2:

• Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• $\triangle EBC$ vuông tại $E$ có trung tuyến $EI$ ứng với cạnh huyền $BC$ nên $EI = IB = IC = \frac{1}{2}BC$.

• $\triangle DBC$ vuông tại $D$ có trung tuyến $DI$ ứng với cạnh huyền $BC$ nên $DI = IB = IC = \frac{1}{2}BC$.

• Suy ra $IB = IC = ID = IE = \frac{10}{2} = 5\text{ (cm)}$. Vậy bốn điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm $BC$), bán kính $R = 5\text{ cm}$.

Lời giải Bài 3:

• Lấy ba điểm phân biệt $A, B, C$ trên mép cong của mảnh đĩa vỡ.

• Vẽ hai đường trung trực của hai đoạn thẳng $AB$ và $BC$. Giao điểm $O$ của hai đường trung trực này chính là tâm của chiếc đĩa tròn ban đầu (vì $OA = OB = OC = R$).