Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

• Định lí: Với hai số thực không âm $a$ và $b$, ta có:

  $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

• Hai chiều áp dụng:

  • Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau:

    $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$$

  • Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó:

    $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$$

• Mở rộng với biểu thức đại số: Với hai biểu thức $A$ và $B$ nhận giá trị không âm ($A \ge 0, B \ge 0$), ta có:

  $$\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$$

  (Đặc biệt: $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$ với mọi biểu thức $A$).

2. Khai căn bậc hai và phép chia

• Định lí: Với số thực $a$ không âm và số thực $b$ dương ($a \ge 0, b > 0$), ta có:

  $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

• Hai chiều áp dụng:

  • Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có thể lần lượt khai phương số $a$ và số $b$, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai:

    $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$$

  • Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số $a$ không âm cho căn bậc hai của số $b$ dương, ta có thể chia số $a$ cho số $b$ rồi khai phương kết quả đó:

    $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$$

• Mở rộng với biểu thức đại số: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ($A \ge 0, B > 0$), ta có:

  $$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$$

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích và nhân các căn thức bậc hai

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = \sqrt{16 \cdot 0,25 \cdot 81}$ b) $B = \sqrt{12} \cdot \sqrt{27}$ c) $C = \sqrt{2,5} \cdot \sqrt{14,4}$

Lời giải: a) $A = \sqrt{16 \cdot 0,25 \cdot 81} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 0,5 \cdot 9 = 18$.

b) $B = \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{12 \cdot 27} = \sqrt{324} = 18$.(Cách tách nhân tử: $\sqrt{12 \cdot 27} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 9} = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$).

c) $C = \sqrt{2,5} \cdot \sqrt{14,4} = \sqrt{2,5 \cdot 14,4} = \sqrt{25 \cdot 1,44} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{1,44} = 5 \cdot 1,2 = 6$.

Dạng 2: Áp dụng quy tắc khai phương một thương và chia hai căn thức bậc hai

Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $M = \sqrt{\frac{49}{144}}$ b) $N = \frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}$ c) $P = \sqrt{2\frac{7}{9}} : \sqrt{\frac{16}{25}}$

Lời giải: a) $M = \sqrt{\frac{49}{144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}} = \frac{7}{12}$.

b) $N = \frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{99}{11}} = \sqrt{9} = 3$.

c) Đổi hỗn số $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$, ta có:

$$P = \sqrt{\frac{25}{9}} : \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} : \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{5}{3} : \frac{4}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{12}$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa biến bằng phép nhân, chia căn thức

Phương pháp: Phân tích các biểu thức dưới dấu căn thành tích các bình phương hoặc thương các biểu thức dương, áp dụng $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ và $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$, sau đó dùng điều kiện của biến để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) $E = \sqrt{9a^2 b^4}$ với $a < 0$ b) $F = \frac{\sqrt{27x^3}}{\sqrt{3x}}$ với $x > 0$ c) $G = \sqrt{\frac{4(x - 2)^2}{25y^2}}$ với $x \ge 2, y < 0$

Lời giải: a) Ta có:

$$E = \sqrt{9a^2 b^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} = 3 \cdot \vert{}a\vert{} \cdot \vert{}b^2\vert{}$$

Vì $a < 0 \Rightarrow \vert{}a\vert{} = -a$, và $b^2 \ge 0$ với mọi $b \Rightarrow \vert{}b^2\vert{} = b^2$. Vậy $E = 3 \cdot (-a) \cdot b^2 = -3ab^2$.

b) Với $x > 0$, ta có:

$$F = \frac{\sqrt{27x^3}}{\sqrt{3x}} = \sqrt{\frac{27x^3}{3x}} = \sqrt{9x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} = 3\vert{}x\vert{}$$

Vì $x > 0$ nên $\vert{}x\vert{} = x$. Vậy $F = 3x$.

c) Với $x \ge 2$ và $y < 0$, ta có:

$$G = \sqrt{\frac{4(x - 2)^2}{25y^2}} = \frac{\sqrt{4(x - 2)^2}}{\sqrt{25y^2}} = \frac{2\vert{}x - 2\vert{}}{5\vert{}y\vert{}}$$

Vì $x \ge 2 \Rightarrow x - 2 \ge 0 \Rightarrow \vert{}x - 2\vert{} = x - 2$; và $y < 0 \Rightarrow \vert{}y\vert{} = -y$. Vậy $G = \frac{2(x - 2)}{5(-y)} = -\frac{2(x - 2)}{5y}$.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bằng cách vận dụng quy tắc nhân/chia căn

Ví dụ 4: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt{4x - 12} = 6$ b) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1} = \sqrt{8}$

Lời giải: a) $\sqrt{4x - 12} = 6$

• Điều kiện: $4x - 12 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.

• Biến đổi phương trình:

  $$\sqrt{4(x - 3)} = 6 \Leftrightarrow 2\sqrt{x - 3} = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x - 3} = 3$$

• Bình phương hai vế:

  $$x - 3 = 9 \Leftrightarrow x = 12 \quad (\text{thỏa mãn } x \ge 3)$$

• Vậy $x = 12$.

b) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1} = \sqrt{8}$

• Điều kiện xác định: $\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 1$.

• Với $x \ge 1$, áp dụng quy tắc nhân hai căn thức bậc hai:

  $$\sqrt{(x - 1)(x + 1)} = \sqrt{8} \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{8}$$

• Bình phương hai vế:

  $$x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 3 \text{ (thỏa mãn } x \ge 1\text{)} \\ &x = -3 \text{ (loại)} \end{aligned} \right.$$

• Vậy $x = 3$.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Tính: a) $A = \sqrt{0,09 \cdot 64}$ b) $B = \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} - \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ c) $C = \left(\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48}\right) : \sqrt{3}$

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: a) $M = \frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{5x}}$ với $x > 0$ b) $N = \sqrt{16(a - 1)^2} + 4a$ với $a < 1$ c) $P = \sqrt{\frac{x^2 - 6x + 9}{4x^2}}$ với $x > 3$

Bài 3: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt{9x + 18} - 2\sqrt{x + 2} = 3$ b) $\frac{\sqrt{3x - 2}}{\sqrt{x + 1}} = 2$

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Vận tốc lăn $v\text{ (m/s)}$ của một vật thể nặng mù sương rơi tự do từ độ cao $h\text{ (m)}$ xuống mặt đất (bỏ qua sức cản không khí) được tính theo công thức $v = \sqrt{2gh}$, trong đó $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$ là gia tốc trọng trường. Một quả bóng được thả rơi từ độ cao $h_1 = 20\text{ m}$ và một quả bóng khác được thả rơi từ độ cao $h_2 = 5\text{ m}$. Tính tỉ số vận tốc chạm đất $\frac{v_1}{v_2}$ của hai quả bóng đó.

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $A = \sqrt{0,09 \cdot 64} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{64} = 0,3 \cdot 8 = 2,4$.

b) $B = \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} - \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8 \cdot 50} - \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{400} - \sqrt{36} = 20 - 6 = 14$.

c) $C = \left(\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48}\right) : \sqrt{3} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 - 3 + 4 = 3$.

Lời giải Bài 2: a) Với $x > 0$:

$$M = \frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{5x}} = \sqrt{\frac{45x^5}{5x}} = \sqrt{9x^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(x^2)^2} = 3x^2 \quad (\text{vì } x^2 > 0)$$

b) Với $a < 1$:

$$N = \sqrt{16(a - 1)^2} + 4a = 4\vert{}a - 1\vert{} + 4a$$

Vì $a < 1 \Rightarrow a - 1 < 0 \Rightarrow \vert{}a - 1\vert{} = -(a - 1) = 1 - a$. Vậy $N = 4(1 - a) + 4a = 4 - 4a + 4a = 4$.

c) Với $x > 3$:

$$P = \sqrt{\frac{x^2 - 6x + 9}{4x^2}} = \sqrt{\frac{(x - 3)^2}{(2x)^2}} = \frac{\vert{}x - 3\vert{}}{\vert{}2x\vert{}}$$

Vì $x > 3 \Rightarrow x - 3 > 0$ và $2x > 0$, nên $\vert{}x - 3\vert{} = x - 3$ và $\vert{}2x\vert{} = 2x$. Vậy $P = \frac{x - 3}{2x}$.

Lời giải Bài 3: a) $\sqrt{9x + 18} - 2\sqrt{x + 2} = 3$

• ĐKXĐ: $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -2$.

• Biến đổi:

  $$\sqrt{9(x + 2)} - 2\sqrt{x + 2} = 3 \Leftrightarrow 3\sqrt{x + 2} - 2\sqrt{x + 2} = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} = 3$$

• Bình phương hai vế: $x + 2 = 9 \Leftrightarrow x = 7$ (thỏa mãn $x \ge -2$).

• Vậy $x = 7$.

b) $\frac{\sqrt{3x - 2}}{\sqrt{x + 1}} = 2$

• ĐKXĐ: $\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x > -1 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

• Biến đổi:

  $$\sqrt{\frac{3x - 2}{x + 1}} = 2 \Leftrightarrow \frac{3x - 2}{x + 1} = 4$$

  $$\Leftrightarrow 3x - 2 = 4(x + 1) \Leftrightarrow 3x - 2 = 4x + 4 \Leftrightarrow x = -6 \quad (\text{loại vì không thỏa mãn } x \ge \frac{2}{3})$$

• Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải Bài 4:

• Vận tốc chạm đất của quả bóng thứ nhất là $v_1 = \sqrt{2g h_1}$ và quả bóng thứ hai là $v_2 = \sqrt{2g h_2}$.

• Tỉ số vận tốc chạm đất của hai quả bóng là:

  $$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{2g h_1}}{\sqrt{2g h_2}} = \sqrt{\frac{2g h_1}{2g h_2}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$$

• Đáp số: Tỉ số vận tốc chạm đất của hai quả bóng là $2$ (vận tốc quả bóng thứ nhất gấp đôi vận tốc quả bóng thứ hai).