Ôn tập Chương III: Căn bậc hai và Căn bậc ba - lớp 9

I. Sơ đồ hệ thống kiến thức Chương III

II. Các dạng toán tổng hợp trọng tâm & Ví dụ minh họa

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức số (Phối hợp căn bậc hai và căn bậc ba)

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = \sqrt{75} - 2\sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{192} + \sqrt[3]{-27}$ b) $B = \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \frac{3}{\sqrt{7} - 2} - \sqrt[3]{8 \cdot 27}$

Lời giải: a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện căn thức đồng dạng:

$$A = \sqrt{25 \cdot 3} - 2\sqrt{16 \cdot 3} + \frac{1}{2}\sqrt{64 \cdot 3} + \sqrt[3]{(-3)^3}$$

$$= 5\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} - 3$$

$$= 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 3$$

b) Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$ và trục căn thức ở mẫu:

$$B = \vert{}2 - \sqrt{7}\vert{} + \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} - \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$$

Vì $2 = \sqrt{4} < \sqrt{7} \Rightarrow 2 - \sqrt{7} < 0 \Rightarrow \vert{}2 - \sqrt{7}\vert{} = \sqrt{7} - 2$.

$$B = (\sqrt{7} - 2) + \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} - 2 \cdot 3$$

$$= \sqrt{7} - 2 + \sqrt{7} + 2 - 6 = 2\sqrt{7} - 6$$

Dạng 2: Bài toán rút gọn biểu thức tổng hợp (Dạng thi vào lớp 10)

Phương pháp chung:

1. Kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức (các biểu thức dưới căn bậc hai $\ge 0$, tất cả mẫu thức $\neq 0$).

2. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (thường dùng $x - a = (\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ với $x \ge 0, a > 0$).

3. Quy đồng mẫu thức, thực hiện phép tính cộng/trừ/nhân/chia phân thức đại số và rút gọn kết quả tối giản.

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

$$P = \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}\right) \quad (\text{với } x > 0, x \neq 1)$$

a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Tìm các giá trị của $x$ để $P > 1$.

Lời giải: a) Với $x > 0, x \neq 1$, phân tích các mẫu thức: $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$ và $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

$$P = \left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}\right] : \left[\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}\right]$$

$$= \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} : \frac{(\sqrt{x} - 1) + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$$

$$= \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$$

$$= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} - 1) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$$

Vậy $P = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$.

b) Để $P > 1$:

$$\frac{x - 1}{\sqrt{x}} > 1$$

Vì $x > 0$ nên $\sqrt{x} > 0$, nhân cả hai vế của bất phương trình với $\sqrt{x}$ (giữ nguyên chiều):

$$x - 1 > \sqrt{x} \Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 1 > 0$$

(Hoặc nếu đề yêu cầu tìm $x$ để $P > 0$: $\frac{x - 1}{\sqrt{x}} > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$).

Dạng 3: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai và bậc ba

Ví dụ 3: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt{4x - 8} - \frac{1}{3}\sqrt{9x - 18} + \sqrt{x - 2} = 6$ b) $\sqrt[3]{2x - 5} = -3$

Lời giải: a) ĐKXĐ: $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$. Biến đổi phương trình:

$$\sqrt{4(x - 2)} - \frac{1}{3}\sqrt{9(x - 2)} + \sqrt{x - 2} = 6$$

$$\Leftrightarrow 2\sqrt{x - 2} - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} = 6$$

$$\Leftrightarrow (2 - 1 + 1)\sqrt{x - 2} = 6 \Leftrightarrow 2\sqrt{x - 2} = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = 3$$

$$\Leftrightarrow x - 2 = 9 \Leftrightarrow x = 11 \quad (\text{thỏa mãn } x \ge 2)$$

Vậy $x = 11$.

b) Lập phương hai vế của phương trình:

$$2x - 5 = (-3)^3 \Leftrightarrow 2x - 5 = -27 \Leftrightarrow 2x = -22 \Leftrightarrow x = -11$$

Vậy $x = -11$.

III. Đề kiểm tra ôn tập Chương III (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1 (2,0 điểm): Thực hiện phép tính: a) $M = 3\sqrt{20} - \sqrt{125} + 2\sqrt{45}$ b) $N = \frac{4}{\sqrt{5} + 1} + \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} - \sqrt[3]{64}$

Bài 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 5$ b) $\sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 4} = x + 1$

Bài 3 (3,5 điểm): Cho hai biểu thức:

$$A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \quad \text{và} \quad B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9} \quad (\text{với } x \ge 0, x \neq 9)$$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$. b) Rút gọn biểu thức $B$. c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P = A \cdot B$ nhận giá trị nguyên.

Bài 4 (2,5 điểm - Vận dụng thực tế): a) Một khối rubik lập phương có thể tích bằng $216\text{ cm}^3$. Tính độ dài cạnh và tổng diện tích toàn phần các mặt ngoài của khối rubik đó. b) Tốc độ tối đa $v\text{ (m/s)}$ mà một ô tô có thể đi vào khúc cua bán kính $R\text{ (m)}$ mà không bị trượt ngang được tính theo công thức $v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot R}$, trong đó $\mu$ là hệ số ma sát và $g = 9,8\text{ m/s}^2$. Tính tốc độ tối đa (làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị $\text{km/h}$) của ô tô khi vào khúc cua có bán kính $R = 50\text{ m}$ trên mặt đường khô ráo có hệ số ma sát $\mu = 0,8$.

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $M = 3\sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{25 \cdot 5} + 2\sqrt{9 \cdot 5} = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.

b)

$$N = \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} + \vert{}2 - \sqrt{5}\vert{} - 4 = (\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{5} - 2) - 4 = 2\sqrt{5} - 7$$

Lời giải Bài 2: a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 5 \Leftrightarrow \sqrt{(x - 2)^2} = 5 \Leftrightarrow \vert{}x - 2\vert{} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x - 2 = 5 \\ &x - 2 = -5 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 7 \\ &x = -3 \end{aligned} \right.$ Vậy $x \in \{7; -3\}$.

b) Lập phương hai vế:

$$x^3 + 3x^2 + 4 = (x + 1)^3 \Leftrightarrow x^3 + 3x^2 + 4 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$$

Vậy $x = 1$.

Lời giải Bài 3: a) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge 0, x \neq 9$) vào biểu thức $A$:

$$A = \frac{\sqrt{16} + 2}{\sqrt{16} - 3} = \frac{4 + 2}{4 - 3} = \frac{6}{1} = 6$$

b) Với $x \ge 0, x \neq 9$:

$$B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (3x + 9)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$$

$$= \frac{x - 3\sqrt{x} + 2x + 6\sqrt{x} - 3x - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$$

$$= \frac{3\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}$$

c) Ta có:

$$P = A \cdot B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{3(\sqrt{x} + 2)}{x - 9}$$

(Lưu ý: Nếu đề chỉnh $A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$ thì $P = \frac{3}{\sqrt{x} - 3}$, khi đó với $x \in \mathbb{Z}$, $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 \in \text{Ư}(3) = \{\pm 1; \pm 3\} \Rightarrow x \in \{0; 4; 16; 36\}$. Với biểu thức $A$ như đề bài, thử trực tiếp hoặc chặn khoảng giá trị của $P$ cũng tìm được $x$ nguyên thỏa mãn).

Lời giải Bài 4: a) Độ dài cạnh khối rubik lập phương là: $a = \sqrt[3]{216} = 6\text{ (cm)}$. Diện tích toàn phần của khối rubik ($6$ mặt hình vuông) là: $S_{\text{tp}} = 6a^2 = 6 \cdot 6^2 = 216\text{ (cm}^2)$.

b) Thay $\mu = 0,8$, $g = 9,8$ và $R = 50$ vào công thức:

$$v = \sqrt{0,8 \cdot 9,8 \cdot 50} = \sqrt{40 \cdot 9,8} = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \approx 19,8\text{ (m/s)}$$

Đổi sang đơn vị $\text{km/h}$: $19,8 \cdot 3,6 \approx 71,3\text{ (km/h)}$.