Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm bất đẳng thức

• Hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$, $a \ge b$, $a \le b$) được gọi là bất đẳng thức, trong đó $a$ là vế trái, $b$ là vế phải.

• Định nghĩa thông qua hiệu:

  • $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$

  • $a < b \Leftrightarrow a - b < 0$

  • $a \ge b \Leftrightarrow a - b \ge 0$ (đọc là "$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$", tức là $a > b$ hoặc $a = b$)

  • $a \le b \Leftrightarrow a - b \le 0$ (đọc là "$a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$", tức là $a < b$ hoặc $a = b$)

2. Tính chất bắc cầu

• Cho ba số $a, b, c$. Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$.

• Tính chất này cũng đúng với các dấu $<, \ge, \le$.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

• Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho:

  $$\text{Với mọi } a, b, c: \quad \text{Nếu } a < b \text{ thì } a + c < b + c$$

• (Tương tự với các dấu $>, \le, \ge$).

• Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức, ta phải đổi dấu hạng tử đó: $a + c < b \Leftrightarrow a < b - c$.

4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Nhân với số dương: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho:

  $$\text{Nếu } a < b \text{ và } c > 0 \text{ thì } ac < bc$$

• Nhân với số âm: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho:

  $$\text{Nếu } a < b \text{ và } c < 0 \text{ thì } ac > bc$$

• (Các tính chất trên cũng đúng với các dấu $>, \le, \ge$).

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: So sánh các biểu thức (không tính giá trị cụ thể)

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân để biến đổi từ bất đẳng thức ban đầu đến biểu thức cần so sánh.

Ví dụ 1: Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $a + 5$ và $b + 5$

b) $-3a + 2$ và $-3b + 2$

c) $2a - 1$ và $2b + 3$

Lời giải:

a) Cộng $5$ vào hai vế của bất đẳng thức $a < b$, ta được: $a + 5 < b + 5$.

b) Nhân hai vế của $a < b$ với $-3$ (vì $-3 < 0$ nên đổi chiều bất đẳng thức):

$$-3a > -3b$$

Cộng $2$ vào hai vế của bất đẳng thức trên, ta được:

$$-3a + 2 > -3b + 2$$

c) Nhân hai vế của $a < b$ với $2$ (vì $2 > 0$ nên giữ nguyên chiều):

$$2a < 2b$$

Cộng $-1$ vào hai vế: $2a - 1 < 2b - 1$ $(1)$.

Mặt khác, vì $-1 < 3$ nên cộng $2b$ vào hai vế ta có: $2b - 1 < 2b + 3$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, theo tính chất bắc cầu suy ra: $2a - 1 < 2b + 3$.

Dạng 2: Xét dấu hoặc so sánh hai số $a$ và $b$ từ bất đẳng thức cho trước

Phương pháp: Biến đổi ngược lại bằng cách cộng (trừ) hai vế với cùng một số, sau đó chia cả hai vế cho hệ số của $a$ và $b$ (lưu ý dấu của số chia).

Ví dụ 2: So sánh $a$ và $b$ nếu:

a) $4a - 7 \ge 4b - 7$

b) $-5a + 1 > -5b + 1$

Lời giải:

a) Cộng $7$ vào hai vế của bất đẳng thức $4a - 7 \ge 4b - 7$, ta được:

$$4a \ge 4b$$

Nhân hai vế với $\frac{1}{4}$ (vì $\frac{1}{4} > 0$), ta được: $a \ge b$.

b) Cộng $-1$ vào hai vế của bất đẳng thức $-5a + 1 > -5b + 1$, ta được:

$$-5a > -5b$$

Nhân hai vế với $-\frac{1}{5}$ (vì $-\frac{1}{5} < 0$ nên đổi chiều bất đẳng thức), ta được: $a < b$.

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp xét hiệu

Phương pháp: Để chứng minh $A \ge B$ (hoặc $A > B$), ta xét hiệu $H = A - B$ rồi biến đổi $H$ về tổng các bình phương hoặc tích các biểu thức không âm để chỉ ra $H \ge 0$ (hoặc $H > 0$).

• Hằng đẳng thức hay dùng: $X^2 \ge 0$ với mọi $X$; $(X \pm Y)^2 = X^2 \pm 2XY + Y^2 \ge 0$.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b$:

a) $a^2 + b^2 \ge 2ab$

b) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$

Lời giải:

a) Xét hiệu:

$$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$$

Vì $(a - b)^2 \ge 0$ với mọi số thực $a, b$ nên $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$.

Suy ra: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. (Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b$).

b) Xét hiệu:

$$(a^2 + b^2 + 2) - 2(a + b) = a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b$$

$$= (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2$$

Vì $(a - 1)^2 \ge 0$ và $(b - 1)^2 \ge 0$ với mọi $a, b$ nên $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$.

Suy ra: $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$. (Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = 1$).

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Điền dấu thích hợp ($<, >, \le, \ge$) vào chỗ chấm:

a) Nếu $x > y$ thì $x - 10 \dots y - 10$

b) Nếu $m \le n$ thì $-2m \dots -2n$

c) Nếu $a < b$ thì $7 - 4a \dots 7 - 4b$

Bài 2: Cho $m > n$, hãy chứng minh:

a) $3m + 1 > 3n - 2$

b) $5 - 2m < 6 - 2n$

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $x^2 + 4x + 5 > 0$ với mọi số thực $x$.

b) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$ với mọi số thực $a, b$.

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Biển báo giao thông quy định tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô con trên một đoạn đường cao tốc là $100\text{ km/h}$. Gọi $v\text{ (km/h)}$ là vận tốc của một ô tô con lưu thông đúng luật trên đoạn đường đó. Hãy viết bất đẳng thức biểu diễn điều kiện của $v$ và cho biết nếu xe chạy trong $2,5\text{ giờ}$ trên đoạn đường đó thì quãng đường $S\text{ (km)}$ xe đi được thỏa mãn bất đẳng thức nào?

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1:

a) $x - 10 > y - 10$ (cộng hai vế với $-10$, giữ nguyên chiều).

b) $-2m \ge -2n$ (nhân hai vế với $-2 < 0$, đổi chiều).

c) Từ $a < b \Rightarrow -4a > -4b \Rightarrow 7 - 4a > 7 - 4b$. Vậy điền dấu $>$.

Lời giải Bài 2:

a) Vì $m > n$ nên nhân hai vế với $3 > 0$, ta được: $3m > 3n$.

Cộng $1$ vào hai vế: $3m + 1 > 3n + 1$ $(1)$.

Mặt khác, vì $1 > -2$ nên cộng $3n$ vào hai vế ta có: $3n + 1 > 3n - 2$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $3m + 1 > 3n - 2$ (tính chất bắc cầu).

b) Vì $m > n$ nên nhân hai vế với $-2 < 0$, ta được: $-2m < -2n$.

Cộng $5$ vào hai vế: $5 - 2m < 5 - 2n$ $(1)$.

Mặt khác, vì $5 < 6$ nên $5 - 2n < 6 - 2n$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $5 - 2m < 6 - 2n$.

Lời giải Bài 3:

a) Ta có: $x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1$.

Vì $(x + 2)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $(x + 2)^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Vậy $x^2 + 4x + 5 > 0$ với mọi số thực $x$.

b) Xét hiệu:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$$

$$= \frac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4}$$

Vì $(a - b)^2 \ge 0$ với mọi $a, b \in \mathbb{R}$ nên $\frac{(a - b)^2}{4} \ge 0$.

Suy ra $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$.

Lời giải Bài 4:

• Vì vận tốc tối đa cho phép là $100\text{ km/h}$ nên vận tốc $v$ thỏa mãn bất đẳng thức: $v \le 100$ (và $v > 0$).

• Quãng đường đi được trong $2,5\text{ giờ}$ là $S = 2,5v$.

• Nhân cả hai vế của bất đẳng thức $v \le 100$ với $2,5$ (vì $2,5 > 0$ nên giữ nguyên chiều), ta được:

  $$2,5v \le 2,5 \cdot 100 \Leftrightarrow S \le 250$$

• Kết luận: $v \le 100$ và $S \le 250$.