Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Căn bậc ba

• Định nghĩa: Căn bậc ba của một số thực $a$ là số thực $x$ sao cho $x^3 = a$.

• Kí hiệu: Căn bậc ba của số thực $a$ được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ (số $3$ được gọi là chỉ số căn).

• Tính duy nhất: Mỗi số thực $a$ bất kì (dương, âm hoặc bằng $0$) đều có duy nhất một căn bậc ba.

  • Căn bậc ba của số dương là số dương.

  • Căn bậc ba của số âm là số âm.

  • Căn bậc ba của số $0$ là chính số $0$: $\sqrt[3]{0} = 0$.

• Tính chất cơ bản: Với mọi số thực $a, b$:

  • $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$

  • $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$

  • $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

  • $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$

  • $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ (với $b \neq 0$)

2. Căn thức bậc ba

• Định nghĩa: Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt[3]{A}$ là căn thức bậc ba của $A$, còn $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

• Điều kiện xác định: Khác với căn thức bậc hai, căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$ xác định với mọi giá trị của biến làm cho $A$ xác định (không đòi hỏi điều kiện $A \ge 0$).

• Hằng đẳng thức: Với mọi biểu thức đại số $A$, ta luôn có:

  $$\left(\sqrt[3]{A}\right)^3 = \sqrt[3]{A^3} = A$$

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức số chứa căn bậc ba

Phương pháp: Đưa các số dưới dấu căn về dạng lập phương của một số ($a^3$) rồi áp dụng công thức $\sqrt[3]{a^3} = a$, hoặc sử dụng quy tắc nhân/chia căn bậc ba.

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{0,125}$ b) $B = \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} - \frac{\sqrt[3]{192}}{\sqrt[3]{3}}$

Lời giải: a) Ta có:

$$A = \sqrt[3]{3^3} - \sqrt[3]{(-4)^3} + \sqrt[3]{0,5^3} = 3 - (-4) + 0,5 = 3 + 4 + 0,5 = 7,5$$

b) Áp dụng quy tắc nhân và chia hai căn bậc ba:

$$B = \sqrt[3]{16 \cdot 4} - \sqrt[3]{\frac{192}{3}} = \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{64} = 4 - 4 = 0$$

Dạng 2: So sánh các biểu thức chứa căn bậc ba

Phương pháp: Áp dụng tính chất $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$, đưa thừa số ngoài dấu căn vào trong dấu căn theo quy tắc $a = \sqrt[3]{a^3}$.

Ví dụ 2: So sánh: a) $4$ và $\sqrt[3]{65}$ b) $2\sqrt[3]{5}$ và $3\sqrt[3]{2}$

Lời giải: a) Ta có: $4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$. Vì $64 < 65$ nên $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{65}$, suy ra $4 < \sqrt[3]{65}$.

b) Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc ba:

• $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.

• $3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$. Vì $40 < 54$ nên $\sqrt[3]{40} < \sqrt[3]{54}$, hay $2\sqrt[3]{5} < 3\sqrt[3]{2}$.

Dạng 3: Tìm điều kiện xác định và rút gọn căn thức bậc ba

Ví dụ 3: a) Tìm điều kiện xác định của các căn thức bậc ba: $\sqrt[3]{3x - 9}$ và $\sqrt[3]{\frac{5}{x + 2}}$. b) Rút gọn các biểu thức:

• $M = \sqrt[3]{27x^3} - 2x$

• $N = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} + 1$

Lời giải: a)

• Biểu thức $3x - 9$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên $\sqrt[3]{3x - 9}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

• Biểu thức $\frac{5}{x + 2}$ xác định khi mẫu thức khác $0$, tức là $x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2$. Vậy $\sqrt[3]{\frac{5}{x + 2}}$ xác định khi $x \neq -2$.

b)

• $M = \sqrt[3]{(3x)^3} - 2x = 3x - 2x = x$.

• Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

  $$N = \sqrt[3]{(x - 1)^3} + 1 = (x - 1) + 1 = x$$

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc ba

Phương pháp: Đưa phương trình về dạng $\sqrt[3]{A} = m$, sau đó lập phương hai vế để được $A = m^3$ (lưu ý phép biến đổi này là tương đương mà không cần điều kiện về dấu của $m$).

Ví dụ 4: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt[3]{2x - 1} = 3$ b) $\sqrt[3]{x^3 + 6x^2} = x + 2$

Lời giải: a) Lập phương hai vế của phương trình, ta được:

$$\left(\sqrt[3]{2x - 1}\right)^3 = 3^3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 27 \Leftrightarrow 2x = 28 \Leftrightarrow x = 14$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 14$.

b) Lập phương hai vế của phương trình, ta được:

$$\left(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2}\right)^3 = (x + 2)^3$$

$$\Leftrightarrow x^3 + 6x^2 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

$$\Leftrightarrow 12x + 8 = 0 \Leftrightarrow 12x = -8 \Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{2}{3}$.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài:

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $P = \sqrt[3]{125} + \sqrt[3]{-216} - \sqrt[3]{-8}$ b) $Q = \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} + \frac{\sqrt[3]{-250}}{\sqrt[3]{2}}$ c) $R = \left(\sqrt[3]{4} - 1\right)\left(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4} + 1\right)$

Bài 2: So sánh: a) $-5$ và $\sqrt[3]{-120}$ b) $4\sqrt[3]{3}$ và $3\sqrt[3]{7}$

Bài 3: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt[3]{5x + 2} = -2$ b) $\sqrt[3]{8x} - 3\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{27x} = 4$

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Thể tích $V$ của một hình lập phương có độ dài cạnh $a$ được tính bởi công thức $V = a^3$. Một bể cá cảnh mini bằng kính có dạng hình lập phương (không nắp) có thể tích chứa nước tối đa là $27\,000\text{ cm}^3$. Tính độ dài cạnh của bể cá và diện tích kính cần dùng để làm chiếc bể cá đó (bỏ qua độ dày của kính).

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $P = \sqrt[3]{5^3} + \sqrt[3]{(-6)^3} - \sqrt[3]{(-2)^3} = 5 + (-6) - (-2) = 5 - 6 + 2 = 1$.

b) $Q = \sqrt[3]{25 \cdot 5} + \sqrt[3]{\frac{-250}{2}} = \sqrt[3]{125} + \sqrt[3]{-125} = 5 + (-5) = 0$.

c) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ với $a = \sqrt[3]{4}, b = 1$:

$$R = \left(\sqrt[3]{4}\right)^3 - 1^3 = 4 - 1 = 3$$

Lời giải Bài 2: a) Ta có: $-5 = \sqrt[3]{(-5)^3} = \sqrt[3]{-125}$. Vì $-125 < -120$ nên $\sqrt[3]{-125} < \sqrt[3]{-120}$, suy ra $-5 < \sqrt[3]{-120}$.

b) Ta có:

• $4\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{192}$.

• $3\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 7} = \sqrt[3]{27 \cdot 7} = \sqrt[3]{189}$. Vì $192 > 189$ nên $\sqrt[3]{192} > \sqrt[3]{189}$, hay $4\sqrt[3]{3} > 3\sqrt[3]{7}$.

Lời giải Bài 3: a) $\sqrt[3]{5x + 2} = -2 \Leftrightarrow 5x + 2 = (-2)^3 \Leftrightarrow 5x + 2 = -8 \Leftrightarrow 5x = -10 \Leftrightarrow x = -2$. Vậy $x = -2$.

b) $\sqrt[3]{8x} - 3\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{27x} = 4$

$$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[3]{x} = 4$$

$$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{x} = 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = 2 \Leftrightarrow x = 2^3 = 8$$

Vậy $x = 8$.

Lời giải Bài 4:

• Độ dài cạnh của bể cá hình lập phương là:

  $$a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{27\,000} = \sqrt[3]{30^3} = 30\text{ (cm)}$$

• Vì bể cá hình lập phương không nắp nên gồm $5$ mặt hình vuông bằng nhau. Diện tích kính cần dùng để làm bể cá là:

  $$S = 5a^2 = 5 \cdot 30^2 = 5 \cdot 900 = 4\,500\text{ (cm}^2)$$

• Đáp số: Độ dài cạnh bể cá là $30\text{ cm}$ và diện tích kính cần dùng là $4\,500\text{ cm}^2$.