Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, xét góc nhọn $B$ (kí hiệu $\alpha = \widehat{B}$). Khi đó:

• Cạnh $BC$ là cạnh huyền.

• Cạnh $AC$ là cạnh đối của góc $B$.

• Cạnh $AB$ là cạnh kề của góc $B$.

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ được định nghĩa như sau:

• Sin của góc $\alpha$ (kí hiệu $\sin\alpha$): tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền:

  $$\sin\alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$$

• Côsin của góc $\alpha$ (kí hiệu $\cos\alpha$): tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền:

  $$\cos\alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$$

• Tang của góc $\alpha$ (kí hiệu $\tan\alpha$): tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề:

  $$\tan\alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}$$

• Côtang của góc $\alpha$ (kí hiệu $\cot\alpha$): tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối:

  $$\cot\alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC}$$

Nhận xét quan trọng: Với mọi góc nhọn $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), ta luôn có:

• $0 < \sin\alpha < 1$; $\quad 0 < \cos\alpha < 1$; $\quad \tan\alpha > 0$; $\quad \cot\alpha > 0$.

• $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; $\quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$; $\quad \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$; $\quad \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Nếu hai góc $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau ($\alpha + \beta = 90^\circ$) thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia:

$$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$$

$$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha \qquad \cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha$$

3. Bảng giá trị lượng giác của các góc nhọn đặc biệt

4. Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT)

• Tính tỉ số lượng giác khi biết số đo góc: Bấm phím $\sin$, $\cos$, hoặc $\tan$, nhập số đo góc (dùng phím độ/phút/giây $^{\circ\,'\,"}$), rồi bấm $=$. (Để tính $\cot\alpha$, ta tính $\frac{1}{\tan\alpha}$ hoặc $\tan(90^\circ - \alpha)$).

• Tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác: Bấm tổ hợp phím $\text{SHIFT} + \sin$ (hiện $\sin^{-1}$), $\text{SHIFT} + \cos$ ($\cos^{-1}$), hoặc $\text{SHIFT} + \tan$ ($\tan^{-1}$), nhập giá trị tỉ số, bấm $=$ rồi bấm phím $^{\circ\,'\,"}$ để đổi ra độ, phút, giây.

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Phương pháp: Xác định đúng cạnh huyền, cạnh đối, cạnh kề của góc nhọn đang xét. Nếu thiếu độ dài một cạnh, dùng định lí Pythagore ($BC^2 = AB^2 + AC^2$) để tính trước khi lập tỉ số.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc $C$.

Lời giải:

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

  $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = 10\text{ (cm)}$$

• Đối với góc nhọn $B$, cạnh đối là $AC = 8\text{ cm}$, cạnh kề là $AB = 6\text{ cm}$, cạnh huyền là $BC = 10\text{ cm}$. Ta có:

  $$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}; \qquad \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

  $$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}; \qquad \cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

• Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau). Áp dụng tính chất hai góc phụ nhau, ta suy ra:

  $$\sin C = \cos B = \frac{3}{5}; \qquad \cos C = \sin B = \frac{4}{5}$$

  $$\tan C = \cot B = \frac{3}{4}; \qquad \cot C = \tan B = \frac{4}{3}$$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác (Dùng bảng giá trị đặc biệt và tính chất góc phụ nhau)

Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay): a) $A = 2\sin 30^\circ + 3\cos 60^\circ - \tan 45^\circ$ b) $B = \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ + \tan 32^\circ - \cot 58^\circ$

Lời giải: a) Thay các giá trị lượng giác của góc đặc biệt:

$$A = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2}$$

b) Nhận thấy $25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$ và $32^\circ + 58^\circ = 90^\circ$ là các cặp góc phụ nhau nên $\sin 65^\circ = \cos 25^\circ$ và $\cot 58^\circ = \tan 32^\circ$. Do đó:

$$B = (\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ) + (\tan 32^\circ - \tan 32^\circ) = 1 + 0 = 1$$

Dạng 3: Dùng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác và tìm số đo góc nhọn

Ví dụ 3: a) Dùng máy tính cầm tay, tính $\sin 37^\circ 20'$, $\cos 52^\circ$, $\cot 41^\circ 15'$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). b) Tìm số đo góc nhọn $\alpha$ (làm tròn đến phút), biết $\sin\alpha = 0,65$ và $\tan\beta = 2,14$.

Lời giải: a) Sử dụng máy tính cầm tay (ở chế độ đơn vị góc là độ Deg):

• $\sin 37^\circ 20' \approx 0,606$

• $\cos 52^\circ \approx 0,616$

• $\cot 41^\circ 15' = \frac{1}{\tan 41^\circ 15'} \approx 1,140$

b) Sử dụng phím nghịch đảo lượng giác và phím đổi độ/phút/giây:

• $\sin\alpha = 0,65 \Rightarrow \alpha \approx 40^\circ 32'$

• $\tan\beta = 2,14 \Rightarrow \beta \approx 64^\circ 57'$

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$ có $DE = 5\text{ cm}$, $EF = 13\text{ cm}$. Tính các tỉ số lượng giác của góc $E$ và góc $F$.

Bài 2: Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau: a) $M = \frac{\sin 30^\circ + \cos 60^\circ}{\tan 60^\circ \cdot \cot 60^\circ}$ b) $N = \cos 15^\circ - \sin 75^\circ + \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $AB = 15\text{ cm}$, $AC = 20\text{ cm}$. a) Tính độ dài $BC$ và $AH$. b) Tính $\sin\widehat{BAH}$ và $\tan\widehat{CAH}$.

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Một chiếc thang dài $4\text{ m}$ đặt dựa vào một bức tường thẳng đứng sao cho chân thang cách chân tường một khoảng bằng $2\text{ m}$. Tính góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất nằm ngang.

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1:

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle DEF$ vuông tại $D$:

  $$DF^2 = EF^2 - DE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow DF = 12\text{ (cm)}$$

• Tỉ số lượng giác của góc $E$ (cạnh đối $DF = 12$, cạnh kề $DE = 5$, cạnh huyền $EF = 13$):

  $$\sin E = \frac{12}{13}; \quad \cos E = \frac{5}{13}; \quad \tan E = \frac{12}{5}; \quad \cot E = \frac{5}{12}$$

• Vì $\widehat{E} + \widehat{F} = 90^\circ$ nên tỉ số lượng giác của góc $F$ là:

  $$\sin F = \frac{5}{13}; \quad \cos F = \frac{12}{13}; \quad \tan F = \frac{5}{12}; \quad \cot F = \frac{12}{5}$$

Lời giải Bài 2: a) $M = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{1} = 1$.

b) Vì $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ nên $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$; vì $20^\circ + 70^\circ = 90^\circ$ nên $\tan 70^\circ = \cot 20^\circ$. Do đó:

$$N = (\cos 15^\circ - \cos 15^\circ) + \tan 20^\circ \cdot \cot 20^\circ = 0 + 1 = 1$$

Lời giải Bài 3:

a)

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

  $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25\text{ (cm)}$$

• Diện tích $\triangle ABC$ được tính theo hai cách: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}AH \cdot BC$. Suy ra: $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\text{ (cm)}$.

b)

• Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9\text{ (cm)}$. Suy ra: $\sin\widehat{BAH} = \frac{BH}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

• Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, ta có $CH = BC - BH = 25 - 9 = 16\text{ (cm)}$. Suy ra: $\tan\widehat{CAH} = \frac{CH}{AH} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Lời giải Bài 4:

• Chiếc thang, bức tường thẳng đứng và mặt đất nằm ngang tạo thành một tam giác vuông có cạnh huyền là chiều dài thang ($4\text{ m}$), cạnh kề với góc tạo bởi thang và mặt đất là khoảng cách từ chân thang đến tường ($2\text{ m}$).

• Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất, ta có:

  $$\cos\alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

• Tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (hoặc bấm máy tính $\cos^{-1}(0,5)$), ta được $\alpha = 60^\circ$.

• Đáp số: Chiếc thang tạo với mặt đất một góc $60^\circ$.