Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình tích

• Dạng tổng quát: $(ax + b)(cx + d) = 0$ (với $a \neq 0, c \neq 0$).

• Cách giải: Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải hai phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng:

  $$(ax + b)(cx + d) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &ax + b = 0 \\ &cx + d = 0 \end{aligned} \right.$$

• Phương pháp đưa về phương trình tích: Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái (vế phải bằng $0$), sau đó phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử bằng các phương pháp đã học (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử...).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Là điều kiện của biến $x$ để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác $0$.

• Quy trình giải gồm 4 bước:

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

  • Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu (lưu ý dùng dấu suy ra "$\Rightarrow$" khi khử mẫu).

  • Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

  • Bước 4: Kết luận — Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Giải phương trình tích cơ bản và biến đổi đưa về phương trình tích

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) $(2x - 5)(3x + 6) = 0$ b) $(x + 2)^2 - 9 = 0$ c) $x(x - 3) + 2x - 6 = 0$

Lời giải: a) $(2x - 5)(3x + 6) = 0$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &2x - 5 = 0 \\ &3x + 6 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &2x = 5 \\ &3x = -6 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{5}{2} \\ &x = -2 \end{aligned} \right.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{5}{2}$ và $x = -2$.

b) $(x + 2)^2 - 9 = 0$

$$\Leftrightarrow (x + 2)^2 - 3^2 = 0$$

$$\Leftrightarrow (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 5) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x - 1 = 0 \\ &x + 5 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 1 \\ &x = -5 \end{aligned} \right.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = -5$.

c) $x(x - 3) + 2x - 6 = 0$

$$\Leftrightarrow x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x - 3 = 0 \\ &x + 2 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 3 \\ &x = -2 \end{aligned} \right.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 3$ và $x = -2$.

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x(x - 2)}$$

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $x \neq 2$.

• Quy đồng mẫu thức hai vế với mẫu thức chung là $x(x - 2)$:

  $$\frac{x(x + 2)}{x(x - 2)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)} = \frac{2}{x(x - 2)}$$

• Khử mẫu thức hai vế, ta được:

  $$x(x + 2) - (x - 2) = 2$$

  $$\Rightarrow x^2 + 2x - x + 2 = 2$$

  $$\Rightarrow x^2 + x = 0$$

  $$\Rightarrow x(x + 1) = 0$$

  $$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 0 \\ &x + 1 = 0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 0 \\ &x = -1 \end{aligned} \right.$$

• Đối chiếu với điều kiện xác định ($x \neq 0$ và $x \neq 2$):

  • Giá trị $x = 0$ không thỏa mãn ĐKXĐ (loại).

  • Giá trị $x = -1$ thỏa mãn ĐKXĐ (nhận).

• Vậy: Nghiệm của phương trình đã cho là $x = -1$.

Dạng 3: Giải bài toán thực tế dẫn đến phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ 3: Một xưởng may theo kế hoạch phải may $300$ bộ quần áo trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn kế hoạch $10$ bộ quần áo, vì vậy xưởng đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch $1$ ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

Lời giải:

• Gọi số bộ quần áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là $x$ (bộ). Điều kiện: $x \in \mathbb{N}^*$.

• Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là $\frac{300}{x}$ (ngày).

• Thực tế mỗi ngày xưởng may được $x + 10$ (bộ), nên thời gian hoàn thành thực tế là $\frac{300}{x + 10}$ (ngày).

• Vì xưởng hoàn thành sớm hơn kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình:

  $$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1$$

• Quy đồng và khử mẫu (với $x > 0$ nên $x(x + 10) \neq 0$):

  $$300(x + 10) - 300x = x(x + 10)$$

  $$\Rightarrow 300x + 3000 - 300x = x^2 + 10x$$

  $$\Rightarrow x^2 + 10x - 3000 = 0$$

  $$\Rightarrow x^2 - 50x + 60x - 3000 = 0$$

  $$\Rightarrow x(x - 50) + 60(x - 50) = 0$$

  $$\Rightarrow (x - 50)(x + 60) = 0$$

  $$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 50 \text{ (thỏa mãn)} \\ &x = -60 \text{ (loại)} \end{aligned} \right.$$

• Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may $50$ bộ quần áo.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình tích sau: a) $(4x - 1)(x + 5) = 0$ b) $(2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0$ c) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Bài 2: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau: a) $\frac{2x - 1}{x + 3} = 1$ b) $\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4x - 2}{x^2 - 1}$

Bài 3: Hai bến sông A và B cách nhau $40\text{ km}$. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi lập tức quay ngược dòng trở về A hết tổng cộng $4\text{ giờ } 30\text{ phút}$. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là $2\text{ km/h}$.

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $(4x - 1)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &4x - 1 = 0 \\ &x + 5 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{1}{4} \\ &x = -5 \end{aligned} \right.$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{1}{4}$ và $x = -5$.

b) $(2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0$

$$\Leftrightarrow [(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0$$

$$\Leftrightarrow (x - 4)(3x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 4 \\ &x = -\frac{2}{3} \end{aligned} \right.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 4$ và $x = -\frac{2}{3}$.

c) $x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 2 \\ &x = 3 \end{aligned} \right.$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 3$.

Lời giải Bài 2: a) $\frac{2x - 1}{x + 3} = 1$

• ĐKXĐ: $x \neq -3$.

• Khử mẫu: $2x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

• Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$.

b) $\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4x - 2}{x^2 - 1}$

• ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $x \neq -1$.

• Quy đồng mẫu chung $(x - 1)(x + 1)$ và khử mẫu:

  $$3(x + 1) + 2(x - 1) = 4x - 2$$

  $$\Rightarrow 3x + 3 + 2x - 2 = 4x - 2$$

  $$\Rightarrow 5x + 1 = 4x - 2 \Rightarrow x = -3 \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}.$$

• Vậy nghiệm của phương trình là $x = -3$.

Lời giải Bài 3:

• Đổi $4\text{ giờ } 30\text{ phút} = \frac{9}{2}\text{ giờ}$.

• Gọi vận tốc thực của ca nô là $x\text{ (km/h)}$ ($x > 2$).

• Vận tốc xuôi dòng là $x + 2\text{ (km/h)}$, vận tốc ngược dòng là $x - 2\text{ (km/h)}$.

• Tổng thời gian đi và về là $\frac{9}{2}\text{ giờ}$ nên ta có phương trình:

  $$\frac{40}{x + 2} + \frac{40}{x - 2} = \frac{9}{2}$$

• Quy đồng mẫu thức chung $2(x + 2)(x - 2)$ và khử mẫu:

  $$80(x - 2) + 80(x + 2) = 9(x^2 - 4)$$

  $$\Rightarrow 80x - 160 + 80x + 160 = 9x^2 - 36$$

  $$\Rightarrow 9x^2 - 160x - 36 = 0$$

  $$\Rightarrow 9x^2 - 162x + 2x - 36 = 0$$

  $$\Rightarrow 9x(x - 18) + 2(x - 18) = 0$$

  $$\Rightarrow (x - 18)(9x + 2) = 0$$

  $$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 18 \text{ (thỏa mãn } x > 2\text{)} \\ &x = -\frac{2}{9} \text{ (loại)} \end{aligned} \right.$$

• Đáp số: Vận tốc thực của ca nô là $18\text{ km/h}$.