Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - lớp 9

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương pháp thế

Phương pháp thế dùng để biến đổi một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn về một phương trình bậc nhất một ẩn:

• Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia (chẳng hạn rút $x$ theo $y$).

• Bước 2: Thế biểu thức vừa rút vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$, sau đó thay ngược lại để tìm $x$. Kết luận nghiệm $(x; y)$.

2. Phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số làm triệt tiêu bớt một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình:

• Hệ số bằng nhau hoặc đối nhau:

  • Nếu hệ số của cùng một ẩn đối nhau, ta cộng từng vế hai phương trình.

  • Nếu hệ số của cùng một ẩn bằng nhau, ta trừ từng vế hai phương trình.

• Hệ số chưa bằng và chưa đối nhau:

  • Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để đưa hệ số của một ẩn về bằng hoặc đối nhau, sau đó thực hiện cộng/trừ từng vế.

3. Ý nghĩa hình học về nghiệm của hệ phương trình

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} ax + by = c \quad (d_1) \\ a'x + b'y = c' \quad (d_2) \end{cases}$ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

• $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tại điểm duy nhất $M(x_0; y_0) \Longleftrightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$.

• $(d_1) \parallel (d_2) \Longleftrightarrow$ Hệ vô nghiệm.

• $(d_1) \equiv (d_2) \Longleftrightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.

B. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Phương pháp:

  1. Chọn phương trình có hệ số đơn giản, rút một ẩn theo ẩn còn lại.

  2. Thế vào phương trình kia để giải phương trình bậc nhất một ẩn.

  3. Thay ngược lại để tìm ẩn còn lại và kết luận nghiệm $(x; y)$.

• Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ 3x + y = 10 \quad (2) \end{cases}$$

  Lời giải: Từ (1) rút $x$ theo $y$:

  $$x = 2y + 1 \quad (*)$$

  Thế $(*)$ vào (2):

  $$3(2y + 1) + y = 10 \Longleftrightarrow 6y + 3 + y = 10 \Longleftrightarrow 7y = 7 \Longleftrightarrow y = 1$$

  Thay $y = 1$ vào $(*)$:

  $$x = 2(1) + 1 = 3$$

  Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(3; 1)$.

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

• Phương pháp:

  1. Nhân hai vế (nếu cần) để hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

  2. Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để triệt tiêu một ẩn.

  3. Giải phương trình một ẩn tìm được, rồi thay vào một phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

• Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

  $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \quad (1) \\ 3x - 2y = 4 \quad (2) \end{cases}$$

  Lời giải: Nhân hai vế của (1) với $2$ và nhân hai vế của (2) với $3$:

  $$\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x - 6y = 12 \end{cases}$$

  Cộng từng vế của hai phương trình:

  $$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + 12 \Longleftrightarrow 13x = 26 \Longleftrightarrow x = 2$$

  Thay $x = 2$ vào (1):

  $$2(2) + 3y = 7 \Longleftrightarrow 4 + 3y = 7 \Longleftrightarrow 3y = 3 \Longleftrightarrow y = 1$$

  Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2; 1)$.

Dạng 3: Minh họa hình học giao điểm của hệ hai phương trình

• Phương pháp:

  1. Giải hệ phương trình tìm nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$.

  2. Vẽ hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ trên cùng hệ trục $Oxy$.

  3. Xác định giao điểm $M(x_0; y_0)$ để kiểm chứng hình học.

• Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + y = 3 \quad (d_1) \\ x - y = 1 \quad (d_2) \end{cases}$$

  Lời giải:

  1. Giải bằng phương pháp cộng đại số: Cộng từng vế: $2x = 4 \Longleftrightarrow x = 2$. Thay $x = 2$ vào $(d_1)$: $2 + y = 3 \Longleftrightarrow y = 1$. Nghiệm của hệ là $(2; 1)$.

  2. Vẽ đồ thị:

     • Đường thẳng $(d_1): y = -x + 3$ đi qua $A(0; 3)$ và $B(3; 0)$.

     • Đường thẳng $(d_2): y = x - 1$ đi qua $C(0; -1)$ và $D(1; 0)$.

Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• Phương pháp:

  1. Tìm điều kiện xác định.

  2. Đặt ẩn phụ $u, v$ cho các biểu thức chứa ẩn giống nhau.

  3. Giải hệ bậc nhất hai ẩn tìm $u, v$.

  4. Trả lại ẩn ban đầu, đối chiếu điều kiện và kết luận.

• Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

  $$\begin{cases} \dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{y + 1} = 5 \\ \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{1}{y + 1} = 2 \end{cases}$$

  Lời giải:

  • Điều kiện: $x \ne 1$ và $y \ne -1$.

  • Đặt $u = \dfrac{1}{x - 1}$ và $v = \dfrac{1}{y + 1}$. Hệ trở thành:

    $$\begin{cases} 2u + 3v = 5 \quad (1) \\ 3u - v = 2 \quad (2) \end{cases}$$

  • Nhân (2) với $3$:

    $$\begin{cases} 2u + 3v = 5 \\ 9u - 3v = 6 \end{cases}$$

  • Cộng từng vế: $11u = 11 \Longleftrightarrow u = 1$. Thay vào (2): $3(1) - v = 2 \Longleftrightarrow v = 1$.

  • Trả lại ẩn $x, y$:

    • $u = 1 \Longrightarrow \dfrac{1}{x - 1} = 1 \Longrightarrow x - 1 = 1 \Longrightarrow x = 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

    • $v = 1 \Longrightarrow \dfrac{1}{y + 1} = 1 \Longrightarrow y + 1 = 1 \Longrightarrow y = 0$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

  • Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(2; 0)$.

Dạng 5: Tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất / vô nghiệm / vô số nghiệm

• Phương pháp: Cho hệ $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ (với $a', b', c' \ne 0$):

  1. Có nghiệm duy nhất $\Longleftrightarrow \dfrac{a}{a'} \ne \dfrac{b}{b'}$.

  2. Vô nghiệm $\Longleftrightarrow \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \ne \dfrac{c}{c'}$.

  3. Vô số nghiệm $\Longleftrightarrow \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}$.

• Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 4y = 6 \end{cases}$$

  Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

  Lời giải: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

  $$\frac{1}{m} \ne \frac{m}{4} \Longleftrightarrow m^2 \ne 4 \Longleftrightarrow m \ne \pm 2$$

  Vậy với $m \ne 2$ và $m \ne -2$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.