📖 Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác - lớp 7

1/10

⏱ 10:00

Gợi ý ⌄

Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương IX

Chương này là nền tảng hình học cực kỳ quan trọng, bạn chỉ cần "bỏ túi" 4 nhóm tính chất sau:

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện: Trong một tam giác, góc lớn hơn thì đối diện với cạnh dài hơn, và ngược lại cạnh dài hơn thì đối diện với góc lớn hơn.
Đường vuông góc và đường xiên: Trong tất cả các đường kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất. Độ dài của nó chính là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng.
Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Sự đồng quy của 4 loại đường đặc biệt:
- 3 đường trung tuyến: Cắt nhau tại Trọng tâm. Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- 3 đường phân giác: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác.
- 3 đường trung trực: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác.
- 3 đường cao: Cắt nhau tại Trực tâm.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương IX)

Dưới đây là 2 bài toán trắc nghiệm vô cùng thú vị, đòi hỏi bạn phải kết hợp nhiều kiến thức đã học để tìm ra đáp án.

Ví dụ 1 (Kết hợp đường trung tuyến và bất đẳng thức tam giác - Trích Câu 5 trang 59) Đề bài: Xét hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác ABC có BC = 4 cm. Trong các số sau, số nào có thể là tổng độ dài BM + CN? A. 5 cm B. 5,5 cm C. 6 cm D. 6,5 cm

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Theo tính chất, G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Bước 2: Xét tam giác nhỏ GBC nằm bên trong tam giác lớn. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. Ta có: GB + GC > BC.
Bước 3: Thay số liệu vào bất đẳng thức. Đề bài cho BC = 4 cm, nên ta có: GB + GC > 4 (1).
Bước 4: Sử dụng tính chất trọng tâm để liên kết với BM và CN. Vì G là trọng tâm, nên đoạn GB = 2/3 BM, và đoạn GC = 2/3 CN.
Bước 5: Thay tính chất này vào bất đẳng thức (1), ta được: 2/3 BM + 2/3 CN > 4 Rút nhân tử chung ra ngoài: 2/3 (BM + CN) > 4
Bước 6: Giải bất phương trình để tìm tổng BM + CN: BM + CN > 4 : (2/3) BM + CN > 4 * (3/2) BM + CN > 6 (cm).
Kết luận: Tổng độ dài hai đường trung tuyến BM + CN bắt buộc phải lớn hơn 6 cm. Trong 4 đáp án đưa ra, chỉ có 6,5 cm là thoả mãn. => Chọn đáp án D.

Ví dụ 2 (Kết hợp tổng 3 góc và đường phân giác - Trích Câu 6 trang 59) Đề bài: Tam giác ABC có số đo ba góc thoả mãn góc A = góc B + góc C. Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Khi đó góc BIC có số đo là bao nhiêu? A. 120 độ B. 125 độ C. 130 độ D. 135 độ

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Tìm số đo cụ thể của góc A, B, C. Ta biết tổng 3 góc trong tam giác ABC là: góc A + góc B + góc C = 180 độ. Đề bài cho: góc A = góc B + góc C. Ta gom (góc B + góc C) lại và thay bằng góc A, ta được: góc A + góc A = 180 độ 2 lần góc A = 180 độ => góc A = 90 độ.
Bước 2: Từ đó, suy ra tổng của hai góc còn lại: góc B + góc C = 90 độ.
Bước 3: Chuyển sự chú ý sang tam giác IBC (tạo bởi điểm phân giác I). Tổng 3 góc trong tam giác IBC là: góc BIC + góc IBC + góc ICB = 180 độ. => góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB).
Bước 4: Liên kết góc nhỏ với góc lớn. Vì IB là tia phân giác của góc B, nên góc IBC = 1/2 góc B. Vì IC là tia phân giác của góc C, nên góc ICB = 1/2 góc C. Suy ra tổng hai góc nhỏ: góc IBC + góc ICB = 1/2 góc B + 1/2 góc C = 1/2 (góc B + góc C).
Bước 5: Thay số vào để tính kết quả. Ta đã biết ở Bước 2 là (góc B + góc C) = 90 độ. Vậy: góc IBC + góc ICB = 1/2 * 90 độ = 45 độ. Thay vào phương trình ở Bước 3, ta có: góc BIC = 180 độ - 45 độ = 135 độ.
Kết luận: Góc BIC bằng 135 độ. => Chọn đáp án D.