📖 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

• Khái niệm đường xiên và đường vuông góc:
  • Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy một điểm M tuỳ ý trên đường thẳng d. Khi đó đoạn thẳng AM được gọi là một đường xiên kẻ từ A đến d.
  • Nếu lấy điểm H trên d sao cho AH vuông góc với d, thì đoạn thẳng AH được gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến d. Điểm H khi đó được gọi là chân đường vuông góc (hay hình chiếu của A lên d).
• Tính chất đường vuông góc là đường ngắn nhất:
  • Trong tất cả các đoạn thẳng (đường xiên, đường vuông góc) kẻ từ một điểm A ngoài đường thẳng d đến các điểm nằm trên d, đoạn vuông góc AH luôn là đoạn ngắn nhất.
  • Độ dài của đoạn thẳng vuông góc AH này chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

2. Kĩ năng giải toán

• Để thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta cần dựng đoạn thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng.
• Vận dụng tính chất "đoạn thẳng ngắn nhất" để so sánh độ dài giữa đường vuông góc và đường xiên (thường dựa vào định lí trong tam giác vuông).
• So sánh các đường xiên với nhau bằng cách vận dụng các tính chất của tam giác (như tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều).

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng): Hãy giải thích tại sao trong mỗi tam giác, chiều cao ứng với một đỉnh luôn là độ dài ngắn nhất trong số các đoạn thẳng nối từ đỉnh đó đến một điểm tuỳ ý thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Bài giải chi tiết: Xét tam giác ABC, kẻ chiều cao AH ứng với đỉnh A (H thuộc đường thẳng BC). Theo định nghĩa, chiều cao AH chính là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh A và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện BC. Vì AH vuông góc với BC nên AH là đường vuông góc. Các đoạn thẳng nối từ A đến một điểm bất kì khác trên đường thẳng BC đều là đường xiên. Theo tính chất "đường vuông góc là đường ngắn nhất", AH luôn có độ dài ngắn nhất. Độ dài đoạn AH này cũng chính là khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng BC.

Ví dụ 2 (Vận dụng để chứng minh phân giác): Cho điểm A không thuộc đường thẳng BC. Xét bốn đoạn thẳng AB, AH, AE, AC kẻ từ A đến đường thẳng BC thoả mãn các tính chất sau: AH vuông góc với đường thẳng BC, H là trung điểm của BE, E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu AE = EC thì AE là tia phân giác của góc HAC.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều. Xét hai tam giác vuông AHB và AHE, ta có: Cạnh AH là cạnh chung. HB = HE (do H là trung điểm của BE theo giả thiết). => Vậy tam giác AHB = tam giác AHE (theo trường hợp hai cạnh góc vuông - c.g.c). Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: AB = AE (1).

Mặt khác, theo giả thiết ta có: E là trung điểm của BC nên BE = EC. Đề bài cũng cho AE = EC. => Bắt cầu qua EC, ta suy ra: BE = AE (2).

Từ (1) và (2), ta gom lại được: AB = BE = AE. Vì tam giác ABE có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ABE là tam giác đều.

Bước 2: Tính số đo góc HAE. Vì tam giác ABE đều nên góc ở đỉnh là góc BAE = 60°. Trong tam giác cân (hoặc đều) ABE, đường cao AH đồng thời là đường phân giác. => Góc HAE = 1/2 góc BAE = 1/2 * 60° = 30° (3).

Bước 3: Tính số đo góc EAC. Xét tam giác AEC, ta có AE = EC (giả thiết) nên tam giác AEC là tam giác cân tại E. Góc AEB là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác AEC. (Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó). => Góc AEB = góc EAC + góc C. Vì tam giác AEC cân tại E nên góc EAC = góc C. => Góc AEB = 2 lần góc EAC. Mà tam giác ABE đều (chứng minh trên) nên góc AEB = 60°. => 2 lần góc EAC = 60°. => Góc EAC = 30° (4).

Bước 4: Kết luận. Từ kết quả (3) và (4), ta thấy: Góc HAE = 30° và góc EAC = 30°. => Góc HAE = góc EAC (= 30°). Hai góc này bằng nhau và tia AE nằm giữa hai tia AH, AC nên AE chính là tia phân giác của góc HAC (điều phải chứng minh).