📖 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

• Cách nhân hai đa thức một biến:
  • Nhân hai đơn thức: $(ax^n)(bx^m) = (ab)x^{n+m}$, trong đó $a, b \in \mathbb{R}; n, m \in \mathbb{N}$.
  • Nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
• Tính chất: Phép nhân đa thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng đa thức.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhân hai đa thức tuỳ ý bằng cách đặt tính nhân.
• Áp dụng các tính chất của phép nhân hai đa thức trong tính toán.
• Giải toán liên quan đến nhân đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Để phần ví dụ được phong phú và trình bày rõ ràng theo từng câu a, b, c như bạn yêu cầu, tôi đã tổng hợp các dạng bài tập tiêu biểu (rút gọn biểu thức, đặt tính nhân và tính giá trị biểu thức) từ tài liệu:

Đề bài: Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$.

b) Tính $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x)$ bằng cách đặt tính nhân.

c) Rút gọn biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được tại $x = 0,5$: $(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$.

Bài giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$

$= [(12x - 5)4x - (12x - 5)] - [(3x - 7)16x - (3x - 7)]$

$= (48x^2 - 20x - 12x + 5) - (48x^2 - 112x - 3x + 7)$

$= 48x^2 - 20x - 12x + 5 - 48x^2 + 112x + 3x - 7$

$= (48x^2 - 48x^2) - (20x + 12x - 112x - 3x) + (5 - 7)$

$= 83x - 2$.

b) Đặt tính nhân: Ta viết $5 - x$ thành đa thức $-x + 5$ và đặt tính nhân sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau như sau:

$\phantom{xxxxx}x^3 + 2x^2 - x - 1$

$\times$ $\phantom{xxxxxx.xxxxx}- x + 5$

$-----------------$

$\phantom{xxxx}5x^3 + 10x^2 - 5x - 5$

(Tích của $5$ với đa thức thứ nhất)

$+$

$-x^4 - 2x^3 + \phantom{1}x^2 + x$

(Tích của $-x$ với đa thức thứ nhất)

$-----------------$

$-x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$

Vậy $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x) = -x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$.

c) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Trước tiên, thực hiện phép nhân phân phối để rút gọn đa thức:

$(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$

$= 4x^4(2x^2 + 3) - 6x^2(2x^2 + 3) + 9(2x^2 + 3)$

$= 8x^6 + 12x^4 - 12x^4 - 18x^2 + 18x^2 + 27$

$= 8x^6 + 27$.

Tiếp theo, thay $x = 0,5$ (tức là $x = \frac{1}{2}$) vào đa thức đã rút gọn, ta được:

Giá trị biểu thức $= 8 \cdot (0,5)^6 + 27 = 8 \cdot \frac{1}{64} + 27 = \frac{1}{8} + 27 = 27,125$.

Vậy giá trị của đa thức tại $x = 0,5$ là $27,125$.