📖 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

• Bất đẳng thức tam giác (về tổng): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tuỳ ý của một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a < b + c.
• Bất đẳng thức tam giác (về hiệu): Độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a > b - c (với điều kiện b lớn hơn hoặc bằng c).
• Viết gộp lại: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta luôn có mối liên hệ: b - c < a < b + c.

2. Kĩ năng giải toán

• Để kiểm tra xem ba độ dài cho trước có thể tạo thành một tam giác hay không, ta không cần phải thử tất cả các trường hợp.
• Mẹo giải nhanh: Bạn chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng của hai độ dài còn lại (nếu độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia thì đó là tam giác), hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu của hai độ dài còn lại.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết bộ ba cạnh của tam giác): Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau: a) 3 cm; 8 cm; 4 cm. b) 5 cm; 3 cm; 7 cm. Hỏi bộ ba đoạn thẳng nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Bài giải chi tiết:

Câu a) Xét bộ ba độ dài: 3 cm; 8 cm; 4 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 8 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 3 + 4 = 7 (cm). Vì 8 > 7 (tức là 8 > 3 + 4), độ dài cạnh lớn nhất lại lớn hơn tổng hai cạnh kia nên vi phạm bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 3 cm; 8 cm; 4 cm KHÔNG THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu b) Xét bộ ba độ dài: 5 cm; 3 cm; 7 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 7 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 5 + 3 = 8 (cm). Vì 7 < 8 (tức là 7 < 5 + 3), độ dài cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia nên thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 5 cm; 3 cm; 7 cm CÓ THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 2 (Vận dụng bất đẳng thức vào tam giác cân): Cho tam giác cân có độ dài hai trong ba cạnh là 2 cm, 5 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Suy luận các trường hợp cạnh của tam giác cân. Vì đây là tam giác cân nên nó phải có hai cạnh bằng nhau. Do đó, độ dài ba cạnh của tam giác này chỉ có thể rơi vào một trong hai trường hợp: Trường hợp 1: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 2 cm, 5 cm. Trường hợp 2: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm.

Bước 2: Kiểm tra bất đẳng thức tam giác cho từng trường hợp. Xét trường hợp 1 (2 cm, 2 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 2 = 4 (cm). Vì 4 < 5 (tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại) nên trường hợp này không thoả mãn bất đẳng thức tam giác, không thể tạo thành tam giác.

Xét trường hợp 2 (2 cm, 5 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 5 = 7 (cm). Vì 7 > 5 nên trường hợp này hoàn toàn hợp lệ.

Bước 3: Kết luận và tính chu vi. Vậy tam giác cân đó bắt buộc phải có độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm. Chu vi của tam giác là tổng độ dài ba cạnh: 2 + 5 + 5 = 12 (cm).