📖 Bài 25: Đa thức một biến - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.
  • Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến.
  • Muốn nhân hai đơn thức tuỳ ý, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau.
• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
  • Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
  • Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.
  • Ta thường viết đa thức dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.
• Các đặc trưng của đa thức (khác đa thức không) trong dạng thu gọn:
  • Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức.
  • Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
  • Hệ số của hạng tử bậc 0 (hạng tử không chứa biến) gọi là hệ số tự do.
• Đa thức không là đa thức không có bậc.
• Nghiệm của đa thức: Nếu tại $x = a$ ($a$ là một số), giá trị của một đa thức bằng 0 thì ta gọi $a$ (hay $x = a$) là một nghiệm của đa thức đó.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết đơn thức, hệ số và bậc của đơn thức.
• Cộng, trừ hai đơn thức cùng bậc; nhân hai đơn thức tuỳ ý.
• Nhận biết một đa thức; thu gọn và sắp xếp các hạng tử của một đa thức theo luỹ thừa giảm của biến.
• Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức.
• Nhận biết các hệ số và bậc của các hạng tử trong một đa thức.
• Tính giá trị của một đa thức tại một giá trị cho trước của biến; kiểm tra xem một số có phải là nghiệm của một đa thức hay không.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Cho đa thức $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$.

a) Thu gọn đa thức $P(x)$ và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Tính giá trị của đa thức tại mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp ${-2; -1; 0; 1}$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức $P(x)$.

Bài giải:

a) Ta tiến hành đồng thời vừa thu gọn, vừa sắp xếp các hạng tử của đa thức bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc (nếu có) từ bậc cao đến bậc thấp như sau: $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$ $= \left(-3,5x^4 + \frac{7}{2}x^4\right) - 2x^3 + \left(3x^2 - 5x^2\right) + x + \left(-1 + 2\right)$ $= \left(-3,5 + \frac{7}{2}\right)x^4 - 2x^3 + (3 - 5)x^2 + x + (-1 + 2)$ $= 0x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1$ Kết quả ta được đa thức $P(x) = -2x^3 - 2x^2 + x + 1$. Hạng tử có bậc cao nhất là $-2x^3$, bậc 3, nên $P(x)$ là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là $-2$ và hệ số tự do là 1.

b) Ta có: $P(-2) = -2 \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = 16 - 8 - 1 = 7$. $P(-1) = -2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$. Tương tự, $P(0) = 1$ và $P(1) = -2$. Vậy $x = -1$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$.