📖 Ôn tập Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến - lớp 7

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VII

Trong chương này, chúng ta cần nắm vững 5 nội dung chính:

• Biểu thức đại số: Hiểu khái niệm biến số và biết cách thay giá trị của biến vào biểu thức để tính toán.
• Đa thức một biến: Nhận biết được bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một đa thức đã thu gọn. Biết cách kiểm tra một số có phải là nghiệm của đa thức hay không.
• Phép cộng và trừ đa thức: Nắm vững hai cách trình bày (nhóm các hạng tử cùng bậc hoặc đặt tính theo cột dọc).
• Phép nhân đa thức: Nắm vững quy tắc nhân đơn thức với đơn thức, đa thức với đa thức.
• Phép chia đa thức: Biết cách đặt tính chia đa thức cho đa thức, phân biệt được phép chia hết (dư 0) và phép chia có dư.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập chương VII)

Ví dụ 1 (Nhận biết các yếu tố của đa thức - Trích Câu hỏi trắc nghiệm 2 & 4 trang 35) a) Cho đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x. Hãy xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của G(x). b) Cho đa thức P(x) = x² + 5x - 6. Chứng tỏ rằng x = 1 và x = -6 là hai nghiệm của P(x).

Bài giải:

a) Đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x đã được thu gọn. Hạng tử có bậc cao nhất là 4x³ (bậc 3). Do đó, hệ số cao nhất là 4. Đa thức không có hạng tử nào chỉ là số (không chứa biến x), tức là cộng với 0. Do đó, hệ số tự do là 0. => Kết luận: Hệ số cao nhất là 4, hệ số tự do là 0.

b) Để chứng tỏ một số là nghiệm, ta thay số đó vào đa thức xem kết quả có bằng 0 hay không: Thay x = 1 vào P(x), ta có: P(1) = 1² + 5.1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0. Vậy x = 1 là một nghiệm của P(x).

Thay x = -6 vào P(x), ta có: P(-6) = (-6)² + 5.(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0. Vậy x = -6 là một nghiệm của P(x).

Ví dụ 2 (Tổng hợp các phép tính cộng, trừ và tìm nghiệm - Trích Bài 7.37 trang 36)

Cho hai đa thức sau: P(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 Q(x) = -3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức: S(x) = P(x) + Q(x) D(x) = P(x) - Q(x)

b) Trong tập hợp {-1; 0; 1}, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức S(x) và D(x).

Bài giải:

a) Tính đa thức S(x) và D(x):

• Tính S(x) = P(x) + Q(x): S(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) + (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc: S(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 - 3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: S(x) = (3x⁵ - 3x⁵) - 2x⁴ - x³ + (7x² - 7x²) + (3x + 2x) + (-10 + 10) Thu gọn: S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x

Đa thức S(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là -2, hệ số tự do là 0.

• Tính D(x) = P(x) - Q(x): D(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) - (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu toàn bộ đa thức Q): D(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 + 3x⁵ + x³ + 7x² - 2x - 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: D(x) = (3x⁵ + 3x⁵) - 2x⁴ + x³ + (7x² + 7x²) + (3x - 2x) + (-10 - 10) Thu gọn: D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20

Đa thức D(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là 6, hệ số tự do là -20.

b) Tìm nghiệm trong tập hợp {-1; 0; 1}:

• Xét đa thức S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x: Thay x = -1: S(-1) = -2.(-1)⁴ - (-1)³ + 5.(-1) = -2 + 1 - 5 = -6 (khác 0) Thay x = 0: S(0) = -2.0⁴ - 0³ + 5.0 = 0 Thay x = 1: S(1) = -2.1⁴ - 1³ + 5.1 = -2 - 1 + 5 = 2 (khác 0) => Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức S(x).

• Xét đa thức D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20: (Gợi ý: Ta chỉ cần nhẩm, nếu tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm). Thay x = 1 vào D(x): D(1) = 6.1⁵ - 2.1⁴ + 1³ + 14.1² + 1 - 20 D(1) = 6 - 2 + 1 + 14 + 1 - 20 = 22 - 22 = 0 => Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).