📖 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu thêm về hai loại đường đồng quy còn lại:

• Về đường trung trực:

  • Khái niệm: Đường trung trực của mỗi cạnh trong tam giác được gọi là một đường trung trực của tam giác đó (nhắc lại: đường trung trực là đường đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng).
  • Sự đồng quy: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm (đồng quy).
  • Tính chất: Điểm đồng quy này cách đều ba đỉnh của tam giác. (Ví dụ: Nếu ba đường trung trực cắt nhau tại điểm O thì ta luôn có khoảng cách OA = OB = OC).

• Về đường cao:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao xuất phát từ đỉnh đó của tam giác.
  • Sự đồng quy: Ba đường cao của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
  • Tên gọi: Điểm giao nhau của ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác.

2. Kĩ năng giải toán

• Biết cách dùng thước thẳng, ê-ke và compa để vẽ chính xác đường trung trực và đường cao của tam giác.
• Vận dụng tính chất "cách đều ba đỉnh" của giao điểm ba đường trung trực để giải quyết các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
• Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cao (trực tâm) để chứng minh tính vuông góc giữa các đường thẳng trong tam giác.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Đây là một bài toán chứng minh cực kỳ kinh điển và quan trọng về tính chất của tam giác vuông, được trích xuất từ Ví dụ 1 (trang 57 sách bài tập):

Đề bài: Chứng minh hai tính chất sau: a) Ba đường trung trực của tam giác vuông luôn đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền. b) Nếu điểm đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác nằm trên một cạnh của tam giác, thì tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Chứng minh chiều thuận:

• Bước 1: Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là giao điểm của đường trung trực cạnh AB với cạnh huyền BC.
• Bước 2: Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên M cách đều A và B. Suy ra MA = MB.
• Bước 3: Vì MA = MB nên tam giác MAB là tam giác cân tại M. Từ đó ta có: góc MAB = góc B.
• Bước 4: Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), ta có: góc C + góc B = 90 độ. Mặt khác, ngay tại đỉnh A ta cũng có: góc MAC + góc MAB = 90 độ.
• Bước 5: Vì góc MAB = góc B (chứng minh ở bước 3), nên để hai tổng trên cùng bằng 90 độ, bắt buộc góc MAC phải bằng góc C.
• Bước 6: Vì góc MAC = góc C nên tam giác MAC là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MC.
• Bước 7: Từ (MA = MB) và (MA = MC), ta kết luận được MA = MB = MC. Điều này có nghĩa là điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Mà theo tính chất, điểm cách đều ba đỉnh chính là điểm đồng quy của ba đường trung trực. Đồng thời vì MB = MC nên M chính là trung điểm của cạnh BC. => Vậy ba đường trung trực của tam giác vuông đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền.

Câu b) Chứng minh chiều đảo:

• Bước 1: Giả sử điểm M là điểm đồng quy của ba đường trung trực và M lại nằm trên cạnh BC của tam giác ABC.
• Bước 2: Theo tính chất điểm đồng quy của đường trung trực, M sẽ cách đều ba đỉnh. Suy ra: MA = MB = MC.
• Bước 3: Vì MB = MC và M nằm trên BC nên M là trung điểm của BC.
• Bước 4: Vì MA = MB nên tam giác MAB cân tại M. Suy ra: góc MAB = góc B.
• Bước 5: Vì MA = MC nên tam giác MAC cân tại M. Suy ra: góc MAC = góc C.
• Bước 6: Xét tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có: góc A + góc B + góc C = 180 độ.
• Bước 7: Ta thay góc B bằng góc MAB, và thay góc C bằng góc MAC vào tổng trên, ta được: góc A + góc MAB + góc MAC = 180 độ.
• Bước 8: Mà (góc MAB + góc MAC) cộng lại chính là toàn bộ góc A. Nên phương trình trên trở thành: góc A + góc A = 180 độ, tức là 2 lần góc A = 180 độ. Suy ra góc A = 90 độ. => Tam giác ABC có góc A bằng 90 độ nên nó chính là tam giác vuông. (Điều phải chứng minh)