📖 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

• Hai cách trình bày phép cộng (hay trừ) hai đa thức:
  • Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc và nối chúng bởi dấu '+' (hay '-'). Sau đó bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
  • Cách 2: Đặt tính cộng (hay trừ) sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thẳng cột với nhau rồi cộng (hay trừ) theo từng cột.
• Tính chất: Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp.
• Quy tắc chuyển vế: Với các đa thức $A, B, C$ ta có:
  • Nếu $A + B = C$ thì $A = C - B$. Ngược lại, nếu $A = C - B$ thì $A + B = C$.
  • $A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)$.

2. Kĩ năng giải toán

• Cộng hay trừ hai đa thức và trình bày bằng hai cách.
• Áp dụng các tính chất của phép cộng hai đa thức trong tính toán.
• Giải toán liên quan đến cộng, trừ đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Ví dụ: Cho hai đa thức $P(x) = x^4 - 5x^3 + 4x - 5$ và $Q(x) = -x^4 + 3x^2 + 2x + 1$.

a) Hãy tìm tổng $P(x) + Q(x)$.

b) Tìm đa thức $R(x)$ sao cho $P(x) = R(x) + Q(x)$.

Bài giải chi tiết:

a) Tính tổng $P(x) + Q(x)$:

• Cách 1 (Nhóm các hạng tử cùng bậc):

$P(x) + Q(x) = (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) + (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 - x^4 + 3x^2 + 2x + 1$

$= (x^4 - x^4) - 5x^3 + 3x^2 + (4x + 2x) + (1 - 5)$

$= -5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

• Cách 2 (Đặt tính cộng): $\phantom{P(x) + Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$

• $+$ $\phantom{P(x) + Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$ $-------------------------$

• $P(x) + Q(x) = \phantom{-x^4} - 5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

b) Muốn tìm $R(x)$ để $P(x) = R(x) + Q(x)$, ta cần tính $R(x) = P(x) - Q(x)$:

• Cách 1: $R(x) = P(x) - Q(x)= (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) - (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 + x^4 - 3x^2 - 2x - 1$

$= (x^4 + x^4) - 5x^3 - 3x^2 + (4x - 2x) + (-1 - 5)$

$= 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

• Cách 2: $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$ $-$

• $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$

• $-------------------------$ $R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

Chú ý: Trong ví dụ trên, ta thấy đa thức $P$ khuyết hạng tử bậc hai và đa thức $Q$ khuyết hạng tử bậc ba. Do đó khi viết hai đa thức $P$ và $Q$ trong cách đặt tính cộng (trừ), ta đã để khoảng trống ứng với các hạng tử bị khuyết ấy.