📖 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu về hai loại đường và sự đồng quy của chúng:

• Về đường trung tuyến:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng nối đỉnh của một tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác đó.
  • Sự đồng quy (Trọng tâm): Trong một tam giác, ba đường trung tuyến luôn cùng đi qua một điểm (gọi là đồng quy). Điểm gặp nhau này được gọi là trọng tâm của tam giác.
  • Tính chất tỉ lệ: Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. (Ví dụ: Nếu G là trọng tâm và AM là trung tuyến thì GA = 2/3 AM; hoặc nhìn theo cách khác là GA = 2 lần GM).

• Về đường phân giác:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng chia một góc của tam giác thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện gọi là đường phân giác của tam giác.
  • Sự đồng quy: Ba đường phân giác của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
  • Tính chất: Điểm đồng quy của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

2. Kĩ năng giải toán

• Biết cách dùng thước và compa (hoặc thước đo góc) để dựng đường trung tuyến và đường phân giác.
• Vận dụng "tỉ lệ 2/3" của trọng tâm để tính toán độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các tính chất liên quan.
• Vận dụng tính chất "cách đều ba cạnh" của điểm đồng quy phân giác để giải quyết các bài toán về khoảng cách.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ (Vận dụng tính chất trọng tâm của tam giác): Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của GN; lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm trên cùng một đường thẳng. Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC và G là trọng tâm, nên A, G, M thẳng hàng. Theo giả thiết, M là trung điểm của GN và M cũng là trung điểm của AD. Do đó, các điểm A, G, M, N, D đều cùng nằm trên một đường thẳng.

Bước 2: Tìm mối liên hệ tỉ lệ để chứng minh trọng tâm mới. Xét tam giác BCD, ta có M là trung điểm của cạnh BC. => DM chính là một đường trung tuyến của tam giác BCD (xuất phát từ đỉnh D).

Bây giờ ta sẽ xét tỉ lệ của điểm N trên đoạn trung tuyến DM này: Vì M là trung điểm của GN (giả thiết) nên khoảng cách MN = GM. Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM = 1/3 độ dài đoạn AM. => Suy ra: MN = 1/3 AM.

Lại có, M là trung điểm của AD (giả thiết) nên đoạn AM = đoạn DM. Thay DM vào đẳng thức trên, ta được: MN = 1/3 DM.

Bước 3: Kết luận. Trong tam giác BCD, đường trung tuyến là DM. Điểm N nằm trên DM và cách trung điểm M một khoảng bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến DM (hay nói cách khác, N cách đỉnh D một khoảng bằng 2/3 độ dài DM). => Theo tính chất, N chính là trọng tâm của tam giác BCD.

Vì N là trọng tâm của tam giác BCD, nên bất kỳ đường thẳng nào đi qua đỉnh và trọng tâm đều là đường trung tuyến. => Đường thẳng CN kéo dài chính là đường trung tuyến xuất phát từ C của tam giác BCD. => Do đó, đường thẳng CN chắc chắn phải đi qua trung điểm của cạnh đối diện, tức là đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD (điều phải chứng minh).