📖 Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - lớp 7

1. Kiến thức cần nhớ

Định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác có hai ý chính cần nắm vững:

• Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
• Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

2. Kĩ năng giải toán

• So sánh hai góc của một tam giác dựa vào độ dài các cạnh đối diện.
• So sánh hai cạnh của một tam giác dựa vào số đo hai góc đối diện.
• Chú ý quan trọng:
  • Khi cần so sánh hai góc, hãy để ý đến độ dài các cạnh đối diện của chúng. Luôn nhớ rằng tổng số đo 3 góc trong một tam giác luôn bằng 180° để tính góc còn thiếu.
  • Khi cần so sánh hai cạnh, hãy để ý đến số đo các góc đối diện của chúng trong tam giác đó.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Sắp xếp độ dài các cạnh): Cho tam giác ABC có góc A = 45°, góc B = 75°. Hãy sắp xếp độ dài các cạnh của tam giác đó từ bé đến lớn.

Bài giải chi tiết: Trong tam giác ABC, tổng số đo ba góc luôn bằng 180°. Do đó, ta tính được góc C bằng: góc C = 180° - góc A - góc B. góc C = 180° - 45° - 75° = 60°.

Ta có số đo ba góc là: góc A = 45°, góc C = 60°, góc B = 75°. Sắp xếp các góc từ bé đến lớn, ta được: 45° < 60° < 75°, tức là: góc A < góc C < góc B.

Dựa vào định lí "Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn": Cạnh đối diện với góc A là cạnh BC. Cạnh đối diện với góc C là cạnh AB. Cạnh đối diện với góc B là cạnh AC. Từ thứ tự các góc (góc A < góc C < góc B), ta suy ra thứ tự các cạnh là: BC < AB < AC.

Ví dụ 2 (So sánh góc và xác định vị trí điểm): Cho tam giác ABC với đường cao AH, H ở giữa B và C, biết AB > AC. a) Hãy so sánh hai góc HAB và HAC. b) Nếu tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D thì H thuộc đoạn thẳng DC hay đoạn thẳng DB? Vì sao?

Bài giải chi tiết:

Câu a) So sánh góc HAB và HAC: Xét tam giác ABC, vì cạnh AB > cạnh AC nên góc đối diện với AB sẽ lớn hơn góc đối diện với AC. Suy ra: góc C > góc B (1).

Vì điểm H nằm giữa B và C nên góc B và góc C đều là các góc nhọn. Trong tam giác vuông AHB (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAB + góc B = 90°. Trong tam giác vuông AHC (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAC + góc C = 90°.

Từ hai điều trên, ta suy ra: góc HAB + góc B = góc HAC + góc C (vì cùng bằng 90°). Mà theo chứng minh ở (1), ta đã có góc C > góc B. Để tổng hai vế bằng nhau, khi góc C lớn hơn góc B thì bắt buộc góc HAB phải lớn hơn góc HAC. Vậy: góc HAB > góc HAC.

Câu b) Xác định vị trí điểm H: Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên tia này chia góc BAC thành hai phần bằng nhau: góc DAB = góc DAC.

Tổng của hai góc nhỏ bằng góc lớn, nên ta có: góc DAB + góc DAC = góc BAC. Thay góc DAB bằng góc DAC (vì chúng bằng nhau), ta được: 2 lần góc DAC = góc BAC.

Mặt khác, ta cũng có tổng: góc HAC + góc HAB = góc BAC. Suy ra: góc HAC + góc HAB = 2 lần góc DAC.

Theo kết quả câu a, ta có góc HAB > góc HAC. Tổng của hai góc (một lớn, một nhỏ) bằng 2 lần góc DAC. Điều này dẫn đến góc nhỏ hơn (là góc HAC) bắt buộc phải nhỏ hơn mức trung bình (là góc DAC). Tức là: góc HAC < góc DAC.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, vì góc HAC nhỏ hơn góc DAC nên tia AH phải nằm giữa tia AC và tia AD. Từ đó suy ra điểm H phải nằm giữa C và D.

Vậy: Điểm H thuộc đoạn thẳng CD.