Toán Lớp 7 Tập 2 (Kết Nối Tri Thức): Giải Bài Tập & Tự Học Tương Tác Trên GogoEdu

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

• Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

• Chú ý: Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ còn có thể viết dưới dạng $a : b = c : d$.

2. Tính chất của tỉ lệ thức

• Tính chất cơ bản: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

• Điều kiện đảo: Nếu $ad = bc$ (với $a, b, c, d \neq 0$) thì ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau:

  $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}; \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{d}; \quad \frac{d}{b} = \frac{c}{a}; \quad \frac{d}{c} = \frac{b}{a}$$

3. Nhận xét (Cách tìm một số hạng)

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($a, b, c, d \neq 0$), ta suy ra cách tìm một số hạng bất kỳ:

• $a = \frac{bc}{d}$

• $b = \frac{ad}{c}$

• $c = \frac{ad}{b}$

• $d = \frac{bc}{a}$

B. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Để học tốt bài này, bạn cần nắm vững các kỹ năng sau:

• Nhận biết tỉ lệ thức và các tính chất:

  • Kiểm tra xem hai tỉ số đã cho có lập thành một tỉ lệ thức hay không.

  • Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số cho trước.

  • Lập các tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích cho trước.

• Vận dụng tính chất: Tìm một thành phần chưa biết khi đã biết ba thành phần còn lại của tỉ lệ thức.

1. Tóm tắt lý thuyết (Kiến thức cần nhớ)

Theo nội dung bài học, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau bao gồm các điểm cốt lõi sau:

• Từ một tỉ lệ thức: Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ta có thể suy ra: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
• Mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: Từ dãy tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$, ta suy ra: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a-c+e}{b-d+f}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
• Chú ý về cách gọi: Nếu có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$, ta còn nói các số $a, c, e$ tỉ lệ với các số $b, d, f$. Khi đó, ta cũng có thể viết dưới dạng $a : c : e = b : d : f$.

2. Kỹ năng giải toán

Để giải quyết bài tập phần này, học sinh cần rèn luyện các kỹ năng sau:

• Nhận biết được dãy tỉ số bằng nhau.
• Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán, bao gồm:
  • Sử dụng tính chất này vào dạng bài toán tìm hai hay nhiều số chưa biết (khi đã biết mối liên hệ giữa các số đó, ví dụ như tổng hoặc hiệu của chúng).
  • Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tiễn liên quan (như tính tiền, chia đồ vật theo tỉ lệ...).

1. Kiến thức cần nhớ

• Định nghĩa: Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = ax$ ($a$ là hằng số khác $0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.
• Tính chất hai chiều: Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{a}$, cụ thể từ $y = ax \Rightarrow x = \frac{1}{a}y$. Khi đó ta nói $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
• Tính chất tỉ số: Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ thì:
  • Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ): $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = \dots = a$.
  • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}; \frac{y_1}{y_3} = \frac{x_1}{x_3}; \frac{y_2}{y_3} = \frac{x_2}{x_3}; \dots$.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận:
  • Tìm hệ số tỉ lệ.
  • Viết công thức về mối liên hệ giữa hai đại lượng.
  • Tìm một đại lượng khi biết đại lượng còn lại và hệ số tỉ lệ.
• Giải một số bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận:
  • Tìm giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận khi biết tổng hoặc hiệu của hai giá trị đó.
  • Chia một đại lượng thành các phần tỉ lệ thuận với các số cho trước.

3. Ví dụ tham khảo

Ví dụ 1: (Tìm giá trị chưa biết của hai đại lượng tỉ lệ thuận) Biết rằng $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi $x = 4$ thì $y = 6$.

a) Viết công thức tính $y$ theo $x$.

b) Tính giá trị của $y$ khi $x = 12$.

c) Tính giá trị của $x$ khi $y = \frac{3}{20}$.

Bài giải chi tiết:

a) Vì $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có tỉ số $\frac{y}{x} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Do đó công thức tính là $y = \frac{3}{2}x$.

b) Khi $x = 12$, thay vào công thức ta được $y = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$.

c) Từ công thức $y = \frac{3}{2}x$, ta suy ra $x = \frac{2}{3}y$. Do đó, khi $y = \frac{3}{20}$ thì ta tính được $x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{1}{10}$.

1. Kiến thức cần nhớ

• Định nghĩa: Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \frac{a}{x}$ ($a$ là hằng số khác $0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.
• Tính chất hai chiều: Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$ và ta nói $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau.
• Tính chất tỉ số: Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau thì:
  • Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ): $x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 = \dots = a$.
  • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1}; \frac{y_1}{y_3} = \frac{x_3}{x_1}; \frac{y_2}{y_3} = \frac{x_3}{x_2}; \dots$.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch:
  • Tìm hệ số tỉ lệ.
  • Viết công thức về mối liên hệ giữa hai đại lượng.
  • Tìm một đại lượng khi biết đại lượng còn lại và hệ số tỉ lệ.
• Giải một số bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ nghịch:
  • Tính tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng tỉ lệ nghịch.
  • Chia một đại lượng thành các phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước.

3. Ví dụ tham khảo (Tìm giá trị chưa biết của hai đại lượng tỉ lệ nghịch)

Đề bài: Biết rằng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau và $x = 2$ khi $y = 3$.

a) Viết công thức tính $y$ theo $x$.

b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 3$.

c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 0,4$.

Bài giải chi tiết:

a) Vì $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau nên tích $xy = a$. Ta có $xy = 2 \cdot 3 = 6$. Do đó công thức tính $y$ theo $x$ là: $y = \frac{6}{x}$.

b) Khi $x = 3$, thay vào công thức ta có: $y = \frac{6}{3} = 2$.

c) Từ công thức $y = \frac{6}{x}$ suy ra $x = \frac{6}{y}$. Do đó, với $y = 0,4$ ta có: $x = \frac{6}{0,4} = 15$.

Câu 1: Phát biểu nào sau đây là sai? Nếu ad = bc (với a, b, c, d khác 0) thì A. a/b = c/d B. a/c = b/d C. d/b = c/a D. d/a = b/c

• Đáp án đúng: D.
• Giải thích: Từ đẳng thức ad = bc, ta có thể suy ra các tỉ lệ thức ở đáp án A, B và C. Riêng đáp án D (d/a = b/c), nếu ta nhân chéo sẽ được d.c = a.b, điều này hoàn toàn khác với giả thiết ban đầu là ad = bc. Vì vậy D là phát biểu sai.

Câu 2: Cho dãy tỉ số bằng nhau a/b = c/d = e/f. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. a/b = c/d = e/f = (a + c - e) / (b - d + f) B. a/b = c/d = e/f = (a - c + e) / (b + d - f) C. a/b = c/d = e/f = (a - e) / (b - f) D. a/b = c/d = e/f = (a + c) / (b + f)

• Đáp án đúng: C.
• Giải thích: Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, dấu của các số hạng trên tử số phải tương ứng với dấu của các số hạng dưới mẫu số.
  • Ở đáp án A: Tử là +c, mẫu lại là -d (sai).
  • Ở đáp án B: Tử là -c, mẫu lại là +d (sai).
  • Ở đáp án D: Tử là a + c, mẫu lại là b + f (phải là b + d mới đúng).
  • Chỉ có đáp án C đúng vì tử là a - e tương ứng với mẫu là b - f.

Câu 3: Cho đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = 2/3 x. Gọi x1, x2, x3 lần lượt là các giá trị khác nhau của x; y1, y2, y3 lần lượt là các giá trị tương ứng của y. Phát biểu nào sau đây là sai? A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2/3 B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 2/3 C. y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = 2/3 D. x1/y1 = x2/y2 = x3/y3 = 3/2

• Đáp án đúng: B.
• Giải thích: Từ công thức y = 2/3 x, ta thấy ngay y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 2/3. Ngược lại, muốn tìm hệ số tỉ lệ của x đối với y, ta rút x ra: x = 3/2 y. Như vậy x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 3/2. Do đó phát biểu B bảo hệ số là 2/3 là sai.

Câu 4: Cho đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = 12/x. Gọi x1, x2, x3 lần lượt là các giá trị khác nhau của x; y1, y2, y3 lần lượt là các giá trị tương ứng của y. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Ta có x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = 12 B. Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau C. y1/y2 = x1/y1 = (x1.y2) / (x2.y3) = x2/x3 D. y1/x1 = y2/x2 = y3/x3

• Đáp án đúng: A.
• Giải thích: Từ công thức y = 12/x, ta nhân chéo lên sẽ được x.y = 12. Đây là dấu hiệu cơ bản cho thấy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Trong đại lượng tỉ lệ nghịch, tích của hai giá trị tương ứng luôn không đổi và bằng đúng hệ số tỉ lệ (ở đây là 12).

Câu 5: Quan hệ của các đại lượng nào sau đây là quan hệ tỉ lệ thuận? A. Vận tốc trung bình của ô tô và thời gian chuyển động của ô tô trên một quãng đường cố định. B. Số người và số ngày khi thực hiện một lượng công việc không đổi và năng suất lao động của mỗi người là như nhau. C. Quãng đường đi được và thời gian chuyển động của vật chuyển động đều. D. Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật có diện tích không đổi.

• Đáp án đúng: C.
• Giải thích:
  • Câu C đúng vì công thức tính quãng đường là: S = v . t. Khi chuyển động đều (vận tốc v không đổi) thì quãng đường S và thời gian t là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
  • Các trường hợp A, B, D đều có chung một đặc điểm là tích của hai đại lượng luôn không đổi (Quãng đường không đổi; Khối lượng công việc không đổi; Diện tích không đổi). Do đó chúng là các đại lượng tỉ lệ nghịch.

Câu 6: Cho x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 2 và y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ 8. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ 16 B. x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ 4 C. x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ 16 D. x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ 4

• Đáp án đúng: A.
• Giải thích:
  • Vì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 2 nên ta có công thức: x = 2y.
  • Vì y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số 8 nên ta có công thức: y = 8/z.
  • Bây giờ ta thế y = 8/z vào công thức của x, ta sẽ có: x = 2 . (8/z) = 16/z. Từ kết quả x = 16/z (hay x.z = 16), ta kết luận được ngay x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ là 16.

1. Kiến thức cần nhớ

• Biểu thức đại số: Những số và chữ được nối với nhau bởi dấu của các phép tính làm thành một biểu thức (có thể có thêm dấu ngoặc để chỉ thứ tự tính). Biểu thức không chứa chữ gọi là biểu thức số. Biểu thức chỉ chứa số hoặc chỉ chứa chữ hoặc chứa cả số và chữ gọi chung là biểu thức đại số.
• Biến số: Trong một biểu thức đại số, các chữ được dùng để thay thế cho những số nào đó được gọi là các biến số (gọi tắt là các biến).
  • Với các biến, ta cũng có thể vận dụng các quy tắc tính và tính chất của các phép tính như đối với các số (ví dụ: $x + y = y + x$; $x(y + z) = xy + xz$; $xx = x^2$; $xxx = x^3$;...).
• Giá trị của biểu thức: Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết biểu thức số, biểu thức đại số và các biến của nó.
• Tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Vào 7 giờ sáng, một tàu chở khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc $x$ km/h. Sau đó 20 phút, một tàu chở hàng khởi hành từ Hải Phòng đi Hà Nội với vận tốc $y$ km/h (giả thiết rằng $x \le 60$ và $y \le 45$). Đến 8 giờ sáng cùng ngày, tàu chở hàng phải dừng lại ở một ga giữa đường để chờ tránh nhau với tàu chở khách. Biết rằng Hà Nội cách Hải Phòng khoảng 105 km và tàu chở khách không dừng lại trong suốt hành trình.

a) Viết biểu thức đại số với hai biến $x$ và $y$, biểu thị khoảng cách (đơn vị: km) giữa hai tàu vào lúc 8 giờ sáng.

b) Giả sử $x = 60$ và $y = 45$. Tính giá trị của biểu thức đại số tìm được ở câu a tại các giá trị đã cho của $x, y$. Từ đó hãy tính xem hai tàu gặp nhau lúc mấy giờ sáng cùng ngày.

Bài giải chi tiết:

a) Đến 8 giờ sáng, tàu chở khách đã đi trong 1 giờ và đi được quãng đường $x$ (km); Tàu chở hàng đi sau tàu chở khách 20 phút nên thời gian đi là 40 phút (bằng $\frac{2}{3}$ giờ), và quãng đường đi được là $\frac{2}{3}y$ (km). Do đó đến 8 giờ, tổng quãng đường hai tàu đi được là $x + \frac{2}{3}y$ (km). Do hai tàu đi ngược chiều nhau nên hai tàu còn cách nhau $105 - (x + \frac{2}{3}y)$ (km). Vậy biểu thức cần tìm là $D = 105 - (x + \frac{2}{3}y)$.

b) Tại $x = 60, y = 45$, giá trị của biểu thức $D$ là $105 - (60 + 30) = 15$. Điều này có nghĩa là hai tàu còn cách nhau 15 km. Vậy tàu chở khách còn tiếp tục đi 15 km nữa để gặp tàu chở hàng tại nơi tàu chở hàng đang đỗ chờ. Từ đó suy ra tàu chở khách còn phải đi thêm khoảng thời gian là $15 : 60 = \frac{1}{4}$ giờ, tức là 15 phút. Vậy hai tàu gặp nhau lúc 8 giờ 15 phút.

1. Kiến thức cần nhớ

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.
  • Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến.
  • Muốn nhân hai đơn thức tuỳ ý, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau.
• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
  • Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
  • Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.
  • Ta thường viết đa thức dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.
• Các đặc trưng của đa thức (khác đa thức không) trong dạng thu gọn:
  • Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức.
  • Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
  • Hệ số của hạng tử bậc 0 (hạng tử không chứa biến) gọi là hệ số tự do.
• Đa thức không là đa thức không có bậc.
• Nghiệm của đa thức: Nếu tại $x = a$ ($a$ là một số), giá trị của một đa thức bằng 0 thì ta gọi $a$ (hay $x = a$) là một nghiệm của đa thức đó.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết đơn thức, hệ số và bậc của đơn thức.
• Cộng, trừ hai đơn thức cùng bậc; nhân hai đơn thức tuỳ ý.
• Nhận biết một đa thức; thu gọn và sắp xếp các hạng tử của một đa thức theo luỹ thừa giảm của biến.
• Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức.
• Nhận biết các hệ số và bậc của các hạng tử trong một đa thức.
• Tính giá trị của một đa thức tại một giá trị cho trước của biến; kiểm tra xem một số có phải là nghiệm của một đa thức hay không.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Cho đa thức $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$.

a) Thu gọn đa thức $P(x)$ và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Tính giá trị của đa thức tại mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp ${-2; -1; 0; 1}$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức $P(x)$.

Bài giải:

a) Ta tiến hành đồng thời vừa thu gọn, vừa sắp xếp các hạng tử của đa thức bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc (nếu có) từ bậc cao đến bậc thấp như sau: $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$ $= \left(-3,5x^4 + \frac{7}{2}x^4\right) - 2x^3 + \left(3x^2 - 5x^2\right) + x + \left(-1 + 2\right)$ $= \left(-3,5 + \frac{7}{2}\right)x^4 - 2x^3 + (3 - 5)x^2 + x + (-1 + 2)$ $= 0x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1$ Kết quả ta được đa thức $P(x) = -2x^3 - 2x^2 + x + 1$. Hạng tử có bậc cao nhất là $-2x^3$, bậc 3, nên $P(x)$ là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là $-2$ và hệ số tự do là 1.

b) Ta có: $P(-2) = -2 \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = 16 - 8 - 1 = 7$. $P(-1) = -2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$. Tương tự, $P(0) = 1$ và $P(1) = -2$. Vậy $x = -1$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$.

1. Kiến thức cần nhớ

• Hai cách trình bày phép cộng (hay trừ) hai đa thức:
  • Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc và nối chúng bởi dấu '+' (hay '-'). Sau đó bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
  • Cách 2: Đặt tính cộng (hay trừ) sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thẳng cột với nhau rồi cộng (hay trừ) theo từng cột.
• Tính chất: Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp.
• Quy tắc chuyển vế: Với các đa thức $A, B, C$ ta có:
  • Nếu $A + B = C$ thì $A = C - B$. Ngược lại, nếu $A = C - B$ thì $A + B = C$.
  • $A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)$.

2. Kĩ năng giải toán

• Cộng hay trừ hai đa thức và trình bày bằng hai cách.
• Áp dụng các tính chất của phép cộng hai đa thức trong tính toán.
• Giải toán liên quan đến cộng, trừ đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Ví dụ: Cho hai đa thức $P(x) = x^4 - 5x^3 + 4x - 5$ và $Q(x) = -x^4 + 3x^2 + 2x + 1$.

a) Hãy tìm tổng $P(x) + Q(x)$.

b) Tìm đa thức $R(x)$ sao cho $P(x) = R(x) + Q(x)$.

Bài giải chi tiết:

a) Tính tổng $P(x) + Q(x)$:

• Cách 1 (Nhóm các hạng tử cùng bậc):

$P(x) + Q(x) = (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) + (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 - x^4 + 3x^2 + 2x + 1$

$= (x^4 - x^4) - 5x^3 + 3x^2 + (4x + 2x) + (1 - 5)$

$= -5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

• Cách 2 (Đặt tính cộng): $\phantom{P(x) + Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$

• $+$ $\phantom{P(x) + Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$ $-------------------------$

• $P(x) + Q(x) = \phantom{-x^4} - 5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

b) Muốn tìm $R(x)$ để $P(x) = R(x) + Q(x)$, ta cần tính $R(x) = P(x) - Q(x)$:

• Cách 1: $R(x) = P(x) - Q(x)= (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) - (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 + x^4 - 3x^2 - 2x - 1$

$= (x^4 + x^4) - 5x^3 - 3x^2 + (4x - 2x) + (-1 - 5)$

$= 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

• Cách 2: $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$ $-$

• $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$

• $-------------------------$ $R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

Chú ý: Trong ví dụ trên, ta thấy đa thức $P$ khuyết hạng tử bậc hai và đa thức $Q$ khuyết hạng tử bậc ba. Do đó khi viết hai đa thức $P$ và $Q$ trong cách đặt tính cộng (trừ), ta đã để khoảng trống ứng với các hạng tử bị khuyết ấy.

1. Kiến thức cần nhớ

• Cách nhân hai đa thức một biến:
  • Nhân hai đơn thức: $(ax^n)(bx^m) = (ab)x^{n+m}$, trong đó $a, b \in \mathbb{R}; n, m \in \mathbb{N}$.
  • Nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
• Tính chất: Phép nhân đa thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng đa thức.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhân hai đa thức tuỳ ý bằng cách đặt tính nhân.
• Áp dụng các tính chất của phép nhân hai đa thức trong tính toán.
• Giải toán liên quan đến nhân đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Để phần ví dụ được phong phú và trình bày rõ ràng theo từng câu a, b, c như bạn yêu cầu, tôi đã tổng hợp các dạng bài tập tiêu biểu (rút gọn biểu thức, đặt tính nhân và tính giá trị biểu thức) từ tài liệu:

Đề bài: Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$.

b) Tính $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x)$ bằng cách đặt tính nhân.

c) Rút gọn biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được tại $x = 0,5$: $(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$.

Bài giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$

$= [(12x - 5)4x - (12x - 5)] - [(3x - 7)16x - (3x - 7)]$

$= (48x^2 - 20x - 12x + 5) - (48x^2 - 112x - 3x + 7)$

$= 48x^2 - 20x - 12x + 5 - 48x^2 + 112x + 3x - 7$

$= (48x^2 - 48x^2) - (20x + 12x - 112x - 3x) + (5 - 7)$

$= 83x - 2$.

b) Đặt tính nhân: Ta viết $5 - x$ thành đa thức $-x + 5$ và đặt tính nhân sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau như sau:

$\phantom{xxxxx}x^3 + 2x^2 - x - 1$

$\times$ $\phantom{xxxxxx.xxxxx}- x + 5$

$-----------------$

$\phantom{xxxx}5x^3 + 10x^2 - 5x - 5$

(Tích của $5$ với đa thức thứ nhất)

$+$

$-x^4 - 2x^3 + \phantom{1}x^2 + x$

(Tích của $-x$ với đa thức thứ nhất)

$-----------------$

$-x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$

Vậy $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x) = -x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$.

c) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Trước tiên, thực hiện phép nhân phân phối để rút gọn đa thức:

$(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$

$= 4x^4(2x^2 + 3) - 6x^2(2x^2 + 3) + 9(2x^2 + 3)$

$= 8x^6 + 12x^4 - 12x^4 - 18x^2 + 18x^2 + 27$

$= 8x^6 + 27$.

Tiếp theo, thay $x = 0,5$ (tức là $x = \frac{1}{2}$) vào đa thức đã rút gọn, ta được:

Giá trị biểu thức $= 8 \cdot (0,5)^6 + 27 = 8 \cdot \frac{1}{64} + 27 = \frac{1}{8} + 27 = 27,125$.

Vậy giá trị của đa thức tại $x = 0,5$ là $27,125$.

1. Kiến thức cần nhớ

• Phép chia hết: Cho hai đa thức A và B (B khác 0). Nếu có đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết A : B = Q, trong đó A là đa thức bị chia, B là đa thức chia, Q là đa thức thương.
• Cách chia đa thức cho đa thức: Đặt tính và chia tương tự phép chia hai số tự nhiên cho đến khi đa thức dư là đa thức không hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
• Dạng tổng quát: A = B.Q + R. Trong đó, R = 0 (phép chia hết) hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (phép chia có dư).

2. Kĩ năng giải toán

• Chia đa thức tuỳ ý bằng cách đặt tính chia.
• Nhận biết thương và dư trong phép chia đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Bằng cách đặt tính chia, tìm thương và dư trong các phép chia đa thức A cho đa thức B sau:

a) A = 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2; B = x² - 2

b) A = 3x⁴ + x³ + 6x - 5; B = x² + 1

Bài giải:

Câu a)

  2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 | x² - 2
-                          |---------------
  2x⁴       - 4x²          | 2x² - 3x + 1
  ------------------------ |
      - 3x³ +  x² + 6x - 2 |
    -                      |
      - 3x³       + 6x     |
      -------------------- |
               x²      - 2 |
             -             |
               x²      - 2 |
               ----------- |
                         0

Kết quả ta có phép chia hết, thương là Q = 2x² - 3x + 1 và dư R = 0.

Câu b)

  3x⁴ +  x³        + 6x - 5 | x² + 1
-                           |--------------
  3x⁴       + 3x²           | 3x² + x - 3
  ------------------------- |
         x³ - 3x² + 6x - 5  |
       -                    |
         x³       +  x      |
         ------------------ |
            - 3x² + 5x - 5  |
          -                 |
            - 3x²      - 3  |
            --------------  |
                    5x - 2

Kết quả ta được thương là Q = 3x² + x - 3 và dư là R = 5x - 2.

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VII

Trong chương này, chúng ta cần nắm vững 5 nội dung chính:

• Biểu thức đại số: Hiểu khái niệm biến số và biết cách thay giá trị của biến vào biểu thức để tính toán.
• Đa thức một biến: Nhận biết được bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một đa thức đã thu gọn. Biết cách kiểm tra một số có phải là nghiệm của đa thức hay không.
• Phép cộng và trừ đa thức: Nắm vững hai cách trình bày (nhóm các hạng tử cùng bậc hoặc đặt tính theo cột dọc).
• Phép nhân đa thức: Nắm vững quy tắc nhân đơn thức với đơn thức, đa thức với đa thức.
• Phép chia đa thức: Biết cách đặt tính chia đa thức cho đa thức, phân biệt được phép chia hết (dư 0) và phép chia có dư.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập chương VII)

Ví dụ 1 (Nhận biết các yếu tố của đa thức - Trích Câu hỏi trắc nghiệm 2 & 4 trang 35) a) Cho đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x. Hãy xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của G(x). b) Cho đa thức P(x) = x² + 5x - 6. Chứng tỏ rằng x = 1 và x = -6 là hai nghiệm của P(x).

Bài giải:

a) Đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x đã được thu gọn. Hạng tử có bậc cao nhất là 4x³ (bậc 3). Do đó, hệ số cao nhất là 4. Đa thức không có hạng tử nào chỉ là số (không chứa biến x), tức là cộng với 0. Do đó, hệ số tự do là 0. => Kết luận: Hệ số cao nhất là 4, hệ số tự do là 0.

b) Để chứng tỏ một số là nghiệm, ta thay số đó vào đa thức xem kết quả có bằng 0 hay không: Thay x = 1 vào P(x), ta có: P(1) = 1² + 5.1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0. Vậy x = 1 là một nghiệm của P(x).

Thay x = -6 vào P(x), ta có: P(-6) = (-6)² + 5.(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0. Vậy x = -6 là một nghiệm của P(x).

Ví dụ 2 (Tổng hợp các phép tính cộng, trừ và tìm nghiệm - Trích Bài 7.37 trang 36)

Cho hai đa thức sau: P(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 Q(x) = -3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức: S(x) = P(x) + Q(x) D(x) = P(x) - Q(x)

b) Trong tập hợp {-1; 0; 1}, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức S(x) và D(x).

Bài giải:

a) Tính đa thức S(x) và D(x):

• Tính S(x) = P(x) + Q(x): S(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) + (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc: S(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 - 3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: S(x) = (3x⁵ - 3x⁵) - 2x⁴ - x³ + (7x² - 7x²) + (3x + 2x) + (-10 + 10) Thu gọn: S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x

Đa thức S(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là -2, hệ số tự do là 0.

• Tính D(x) = P(x) - Q(x): D(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) - (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu toàn bộ đa thức Q): D(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 + 3x⁵ + x³ + 7x² - 2x - 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: D(x) = (3x⁵ + 3x⁵) - 2x⁴ + x³ + (7x² + 7x²) + (3x - 2x) + (-10 - 10) Thu gọn: D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20

Đa thức D(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là 6, hệ số tự do là -20.

b) Tìm nghiệm trong tập hợp {-1; 0; 1}:

• Xét đa thức S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x: Thay x = -1: S(-1) = -2.(-1)⁴ - (-1)³ + 5.(-1) = -2 + 1 - 5 = -6 (khác 0) Thay x = 0: S(0) = -2.0⁴ - 0³ + 5.0 = 0 Thay x = 1: S(1) = -2.1⁴ - 1³ + 5.1 = -2 - 1 + 5 = 2 (khác 0) => Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức S(x).

• Xét đa thức D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20: (Gợi ý: Ta chỉ cần nhẩm, nếu tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm). Thay x = 1 vào D(x): D(1) = 6.1⁵ - 2.1⁴ + 1³ + 14.1² + 1 - 20 D(1) = 6 - 2 + 1 + 14 + 1 - 20 = 22 - 22 = 0 => Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).

1. Kiến thức cần nhớ

• Định nghĩa chung: Các hiện tượng, sự kiện xảy ra trong tự nhiên, cuộc sống được gọi chung là các biến cố.
• Phân loại biến cố: Có 3 loại biến cố chính:
  • Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn xảy ra.
  • Biến cố không thể: Là biến cố biết trước không bao giờ xảy ra.
  • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố không biết trước có xảy ra hay không xảy ra.

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết một biến cố thuộc loại nào trong ba loại: Biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1: Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?

a) Biến cố A: "Nhiệt độ cao nhất trong tháng Mười hai năm sau ở Hà Nội là trên 40°C".

b) Biến cố B: "Mùa hè năm sau có triều cường lớn ở Thành phố Hồ Chí Minh".

c) Biến cố C: "Khi gieo ba con xúc xắc thì tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 2".

Bài giải: a) Biến cố A là biến cố không thể. Giải thích: Vì nhiệt độ vào tháng Mười hai (mùa đông) ở Hà Nội không bao giờ vượt quá 40°C.

b) Biến cố B là biến cố ngẫu nhiên,. Giải thích: Vì mùa hè năm sau có thể có triều cường lớn ở Thành phố Hồ Chí Minh và cũng có thể không có. Đây là hiện tượng thiên nhiên mà khoa học không thể dự đoán chính xác 100%.

c) Biến cố C là biến cố chắc chắn. Giải thích: Vì mỗi con xúc xắc có ít nhất 1 chấm, nên khi gieo ba con, tổng số chấm nhỏ nhất có thể đạt được là 3 (nếu cả ba con đều ra mặt 1 chấm). Do đó, tổng số chấm luôn luôn lớn hơn 2.

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp S = {2; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20}. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?

a) Biến cố A: "Số được chọn là số chẵn".

b) Biến cố B: "Số được chọn chia hết cho 5".

c) Biến cố C: "Số được chọn là số lẻ".

Bài giải:

a) Biến cố A là biến cố chắc chắn. Giải thích: Vì tất cả các phần tử trong tập hợp S đều là các số chẵn, nên chắc chắn số được chọn sẽ luôn là số chẵn.

b) Biến cố B là biến cố ngẫu nhiên. Giải thích: Vì ta không biết trước chính xác số nào sẽ được chọn. Nếu chọn được số 10 hoặc 20 thì biến cố B xảy ra; nếu chọn được các số khác (như 2, 6, 8...) thì biến cố B không xảy ra.

c) Biến cố C là biến cố không thể. Giải thích: Vì trong tập hợp S hoàn toàn không có số lẻ nào, nên không bao giờ có thể chọn được số lẻ.

1. Kiến thức cần nhớ

• Khái niệm xác suất:
  • Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó.
  • Xác suất của một biến cố được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.
• Xác suất của một số biến cố đơn giản:
  • Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1.
  • Biến cố không thể có xác suất bằng 0.
  • Biến cố ngẫu nhiên có xác suất là một số lớn hơn 0 và bé hơn 1.
• Biến cố đồng khả năng:
  • Các biến cố gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của mỗi biến cố như nhau.
  • Nếu có k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong k biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng 1/k.

2. Kĩ năng giải toán

• Để tính xác suất của một biến cố, đầu tiên ta cần xác định biến cố đang xét thuộc loại nào: Biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên.
• Nếu là biến cố chắc chắn thì xác suất bằng 1.
• Nếu là biến cố không thể thì xác suất bằng 0.
• Nếu là biến cố ngẫu nhiên thì cần chỉ ra nó nằm trong nhóm k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong nhóm này. Khi đó xác suất của biến cố bằng 1/k.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Đề bài: Một chiếc hộp đựng tám tấm thẻ ghi các số 5; 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để:

a) Rút được tấm thẻ ghi số nhỏ hơn 14.

b) Rút được tấm thẻ ghi số 10.

c) Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố.

d) Rút được tấm thẻ ghi số 9.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số nhỏ hơn 14" là một biến cố chắc chắn. Lý do: Trong hộp, cả 8 tấm thẻ đều ghi các số nhỏ hơn 14 (số lớn nhất trong hộp là 13). Vậy, xác suất của biến cố này bằng 1.

Câu b) Biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số 10" là một biến cố không thể. Lý do: Trong hộp hoàn toàn không có tấm thẻ nào ghi số 10. Vậy, xác suất của biến cố này bằng 0.

Câu c) Trong hộp có 4 tấm thẻ ghi số nguyên tố là: 5; 7; 11; 13. Đồng thời, có 4 tấm thẻ ghi hợp số là: 6; 8; 9; 12. Vì ta rút ngẫu nhiên nên mỗi tấm thẻ có khả năng được rút là như nhau. Do số lượng thẻ nguyên tố và thẻ hợp số bằng nhau (đều là 4 thẻ), nên biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố" và biến cố "Rút được tấm thẻ ghi hợp số" là đồng khả năng. Vì khi rút 1 thẻ, luôn xảy ra duy nhất một trong hai biến cố này, nên xác suất để rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố là 1/2.

Câu d) Vì rút ngẫu nhiên nên mỗi tấm thẻ đều có khả năng rút được như nhau. Trong hộp có tất cả 8 tấm thẻ, nên có 8 biến cố đồng khả năng (rút được thẻ số 5, thẻ số 6, ..., thẻ số 13). Vì luôn xảy ra duy nhất một trong 8 biến cố đó khi ta rút 1 thẻ, nên xác suất để rút được tấm thẻ ghi số 9 là 1/8.

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VIII

Trong chương này, kiến thức khá ngắn gọn và mang tính thực tế cao. Bạn chỉ cần ghi nhớ 2 mảng chính:

• Về Biến cố: Có 3 loại biến cố:

  • Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn luôn xảy ra.
  • Biến cố không thể: Là biến cố biết trước không bao giờ xảy ra.
  • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không.

• Về Xác suất của biến cố: Đây là con số từ 0 đến 1 thể hiện khả năng xảy ra của biến cố:

  • Biến cố chắc chắn luôn có xác suất bằng 1.
  • Biến cố không thể luôn có xác suất bằng 0.
  • Biến cố đồng khả năng: Nếu có k biến cố đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau) và luôn xảy ra duy nhất một trong k biến cố đó, thì xác suất của mỗi biến cố sẽ bằng 1/k.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương VIII)

Ví dụ 1 (Phân tích tính đồng khả năng - Trích Câu 4 trang 44) Một thùng kín có 20 quả bóng màu đỏ và 20 quả bóng màu xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Hãy tính xác suất của các biến cố sau: a) "Lấy được quả bóng màu xanh". b) "Lấy được quả bóng màu đỏ". c) "Lấy được quả bóng màu đỏ hoặc màu xanh".

Bài giải chi tiết:

Câu a và b) Trong thùng có tổng cộng 40 quả bóng, gồm 20 quả bóng xanh và 20 quả bóng đỏ. Vì Sơn lấy ngẫu nhiên và số lượng bóng của hai màu là bằng nhau (đều là 20 quả), nên khả năng Sơn lấy được bóng xanh và khả năng lấy được bóng đỏ là như nhau. Do đó, hai biến cố "Lấy được quả bóng màu xanh" và "Lấy được quả bóng màu đỏ" là hai biến cố đồng khả năng. Mỗi lần lấy, Sơn chắc chắn sẽ lấy được một quả bóng mang 1 trong 2 màu này (tức là luôn xảy ra duy nhất 1 trong 2 biến cố). Vậy, xác suất của biến cố "Lấy được quả bóng màu xanh" bằng 1/2 (hoặc 0,5). Tương tự, xác suất của biến cố "Lấy được quả bóng màu đỏ" cũng bằng 1/2 (hoặc 0,5).

Câu c) Biến cố "Lấy được quả bóng màu đỏ hoặc màu xanh" là một biến cố chắc chắn. Bởi vì trong thùng chỉ có đúng 2 loại màu bóng này, lấy quả nào thì nó cũng sẽ mang màu đỏ hoặc màu xanh. Vì là biến cố chắc chắn nên xác suất của biến cố này bằng 1.

Ví dụ 2 (Tổng hợp các loại biến cố - Trích Bài 8.11 trang 45) Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 8 phần có diện tích bằng nhau và ghi các số từ 1 đến 8. Các phần này được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Hùng quay tấm bìa. Tính xác suất để: a) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số nhỏ hơn 9. b) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0. c) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số chẵn. d) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 7.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Tất cả 8 hình quạt đều ghi các số từ 1 đến 8, tức là tất cả các số này đều nhỏ hơn 9. Do đó, việc mũi tên dừng ở hình quạt ghi số nhỏ hơn 9 là một biến cố chắc chắn. Vậy xác suất của biến cố này bằng 1.

Câu b) Trên tấm bìa không có bất kỳ hình quạt nào ghi số 0. Do đó, việc mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0 là một biến cố không thể. Vậy xác suất của biến cố này bằng 0.

Câu c) Trong 8 phần của tấm bìa, có 4 phần ghi số chẵn (2; 4; 6; 8) và 4 phần ghi số lẻ (1; 3; 5; 7). Vì diện tích các phần bằng nhau nên khả năng mũi tên dừng ở mỗi phần là như nhau. Do số lượng phần chẵn và lẻ bằng nhau (đều là 4 phần), nên hai biến cố "Mũi tên dừng ở số chẵn" và "Mũi tên dừng ở số lẻ" là đồng khả năng. Vì luôn xảy ra duy nhất một trong hai trường hợp (chẵn hoặc lẻ), nên xác suất của biến cố "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số chẵn" là 1/2.

Câu d) Tấm bìa được chia làm 8 phần bằng nhau nên sẽ có 8 biến cố đồng khả năng tương ứng với việc mũi tên dừng ở từng phần riêng biệt (dừng ở số 1, dừng ở số 2, ..., dừng ở số 8). Mỗi lần quay sẽ luôn xảy ra duy nhất một trong 8 biến cố đó. Dựa vào quy tắc, xác suất để mũi tên dừng ở một hình quạt cụ thể (ở đây là số 7) sẽ là 1/8.

1. Kiến thức cần nhớ

Định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác có hai ý chính cần nắm vững:

• Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
• Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

2. Kĩ năng giải toán

• So sánh hai góc của một tam giác dựa vào độ dài các cạnh đối diện.
• So sánh hai cạnh của một tam giác dựa vào số đo hai góc đối diện.
• Chú ý quan trọng:
  • Khi cần so sánh hai góc, hãy để ý đến độ dài các cạnh đối diện của chúng. Luôn nhớ rằng tổng số đo 3 góc trong một tam giác luôn bằng 180° để tính góc còn thiếu.
  • Khi cần so sánh hai cạnh, hãy để ý đến số đo các góc đối diện của chúng trong tam giác đó.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Sắp xếp độ dài các cạnh): Cho tam giác ABC có góc A = 45°, góc B = 75°. Hãy sắp xếp độ dài các cạnh của tam giác đó từ bé đến lớn.

Bài giải chi tiết: Trong tam giác ABC, tổng số đo ba góc luôn bằng 180°. Do đó, ta tính được góc C bằng: góc C = 180° - góc A - góc B. góc C = 180° - 45° - 75° = 60°.

Ta có số đo ba góc là: góc A = 45°, góc C = 60°, góc B = 75°. Sắp xếp các góc từ bé đến lớn, ta được: 45° < 60° < 75°, tức là: góc A < góc C < góc B.

Dựa vào định lí "Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn": Cạnh đối diện với góc A là cạnh BC. Cạnh đối diện với góc C là cạnh AB. Cạnh đối diện với góc B là cạnh AC. Từ thứ tự các góc (góc A < góc C < góc B), ta suy ra thứ tự các cạnh là: BC < AB < AC.

Ví dụ 2 (So sánh góc và xác định vị trí điểm): Cho tam giác ABC với đường cao AH, H ở giữa B và C, biết AB > AC. a) Hãy so sánh hai góc HAB và HAC. b) Nếu tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D thì H thuộc đoạn thẳng DC hay đoạn thẳng DB? Vì sao?

Bài giải chi tiết:

Câu a) So sánh góc HAB và HAC: Xét tam giác ABC, vì cạnh AB > cạnh AC nên góc đối diện với AB sẽ lớn hơn góc đối diện với AC. Suy ra: góc C > góc B (1).

Vì điểm H nằm giữa B và C nên góc B và góc C đều là các góc nhọn. Trong tam giác vuông AHB (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAB + góc B = 90°. Trong tam giác vuông AHC (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAC + góc C = 90°.

Từ hai điều trên, ta suy ra: góc HAB + góc B = góc HAC + góc C (vì cùng bằng 90°). Mà theo chứng minh ở (1), ta đã có góc C > góc B. Để tổng hai vế bằng nhau, khi góc C lớn hơn góc B thì bắt buộc góc HAB phải lớn hơn góc HAC. Vậy: góc HAB > góc HAC.

Câu b) Xác định vị trí điểm H: Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên tia này chia góc BAC thành hai phần bằng nhau: góc DAB = góc DAC.

Tổng của hai góc nhỏ bằng góc lớn, nên ta có: góc DAB + góc DAC = góc BAC. Thay góc DAB bằng góc DAC (vì chúng bằng nhau), ta được: 2 lần góc DAC = góc BAC.

Mặt khác, ta cũng có tổng: góc HAC + góc HAB = góc BAC. Suy ra: góc HAC + góc HAB = 2 lần góc DAC.

Theo kết quả câu a, ta có góc HAB > góc HAC. Tổng của hai góc (một lớn, một nhỏ) bằng 2 lần góc DAC. Điều này dẫn đến góc nhỏ hơn (là góc HAC) bắt buộc phải nhỏ hơn mức trung bình (là góc DAC). Tức là: góc HAC < góc DAC.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, vì góc HAC nhỏ hơn góc DAC nên tia AH phải nằm giữa tia AC và tia AD. Từ đó suy ra điểm H phải nằm giữa C và D.

Vậy: Điểm H thuộc đoạn thẳng CD.

1. Kiến thức cần nhớ

• Khái niệm đường xiên và đường vuông góc:
  • Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy một điểm M tuỳ ý trên đường thẳng d. Khi đó đoạn thẳng AM được gọi là một đường xiên kẻ từ A đến d.
  • Nếu lấy điểm H trên d sao cho AH vuông góc với d, thì đoạn thẳng AH được gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến d. Điểm H khi đó được gọi là chân đường vuông góc (hay hình chiếu của A lên d).
• Tính chất đường vuông góc là đường ngắn nhất:
  • Trong tất cả các đoạn thẳng (đường xiên, đường vuông góc) kẻ từ một điểm A ngoài đường thẳng d đến các điểm nằm trên d, đoạn vuông góc AH luôn là đoạn ngắn nhất.
  • Độ dài của đoạn thẳng vuông góc AH này chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

2. Kĩ năng giải toán

• Để thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta cần dựng đoạn thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng.
• Vận dụng tính chất "đoạn thẳng ngắn nhất" để so sánh độ dài giữa đường vuông góc và đường xiên (thường dựa vào định lí trong tam giác vuông).
• So sánh các đường xiên với nhau bằng cách vận dụng các tính chất của tam giác (như tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều).

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng): Hãy giải thích tại sao trong mỗi tam giác, chiều cao ứng với một đỉnh luôn là độ dài ngắn nhất trong số các đoạn thẳng nối từ đỉnh đó đến một điểm tuỳ ý thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Bài giải chi tiết: Xét tam giác ABC, kẻ chiều cao AH ứng với đỉnh A (H thuộc đường thẳng BC). Theo định nghĩa, chiều cao AH chính là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh A và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện BC. Vì AH vuông góc với BC nên AH là đường vuông góc. Các đoạn thẳng nối từ A đến một điểm bất kì khác trên đường thẳng BC đều là đường xiên. Theo tính chất "đường vuông góc là đường ngắn nhất", AH luôn có độ dài ngắn nhất. Độ dài đoạn AH này cũng chính là khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng BC.

Ví dụ 2 (Vận dụng để chứng minh phân giác): Cho điểm A không thuộc đường thẳng BC. Xét bốn đoạn thẳng AB, AH, AE, AC kẻ từ A đến đường thẳng BC thoả mãn các tính chất sau: AH vuông góc với đường thẳng BC, H là trung điểm của BE, E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu AE = EC thì AE là tia phân giác của góc HAC.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều. Xét hai tam giác vuông AHB và AHE, ta có: Cạnh AH là cạnh chung. HB = HE (do H là trung điểm của BE theo giả thiết). => Vậy tam giác AHB = tam giác AHE (theo trường hợp hai cạnh góc vuông - c.g.c). Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: AB = AE (1).

Mặt khác, theo giả thiết ta có: E là trung điểm của BC nên BE = EC. Đề bài cũng cho AE = EC. => Bắt cầu qua EC, ta suy ra: BE = AE (2).

Từ (1) và (2), ta gom lại được: AB = BE = AE. Vì tam giác ABE có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ABE là tam giác đều.

Bước 2: Tính số đo góc HAE. Vì tam giác ABE đều nên góc ở đỉnh là góc BAE = 60°. Trong tam giác cân (hoặc đều) ABE, đường cao AH đồng thời là đường phân giác. => Góc HAE = 1/2 góc BAE = 1/2 * 60° = 30° (3).

Bước 3: Tính số đo góc EAC. Xét tam giác AEC, ta có AE = EC (giả thiết) nên tam giác AEC là tam giác cân tại E. Góc AEB là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác AEC. (Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó). => Góc AEB = góc EAC + góc C. Vì tam giác AEC cân tại E nên góc EAC = góc C. => Góc AEB = 2 lần góc EAC. Mà tam giác ABE đều (chứng minh trên) nên góc AEB = 60°. => 2 lần góc EAC = 60°. => Góc EAC = 30° (4).

Bước 4: Kết luận. Từ kết quả (3) và (4), ta thấy: Góc HAE = 30° và góc EAC = 30°. => Góc HAE = góc EAC (= 30°). Hai góc này bằng nhau và tia AE nằm giữa hai tia AH, AC nên AE chính là tia phân giác của góc HAC (điều phải chứng minh).

1. Kiến thức cần nhớ

• Bất đẳng thức tam giác (về tổng): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tuỳ ý của một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a < b + c.
• Bất đẳng thức tam giác (về hiệu): Độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a > b - c (với điều kiện b lớn hơn hoặc bằng c).
• Viết gộp lại: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta luôn có mối liên hệ: b - c < a < b + c.

2. Kĩ năng giải toán

• Để kiểm tra xem ba độ dài cho trước có thể tạo thành một tam giác hay không, ta không cần phải thử tất cả các trường hợp.
• Mẹo giải nhanh: Bạn chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng của hai độ dài còn lại (nếu độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia thì đó là tam giác), hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu của hai độ dài còn lại.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết bộ ba cạnh của tam giác): Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau: a) 3 cm; 8 cm; 4 cm. b) 5 cm; 3 cm; 7 cm. Hỏi bộ ba đoạn thẳng nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Bài giải chi tiết:

Câu a) Xét bộ ba độ dài: 3 cm; 8 cm; 4 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 8 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 3 + 4 = 7 (cm). Vì 8 > 7 (tức là 8 > 3 + 4), độ dài cạnh lớn nhất lại lớn hơn tổng hai cạnh kia nên vi phạm bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 3 cm; 8 cm; 4 cm KHÔNG THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu b) Xét bộ ba độ dài: 5 cm; 3 cm; 7 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 7 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 5 + 3 = 8 (cm). Vì 7 < 8 (tức là 7 < 5 + 3), độ dài cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia nên thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 5 cm; 3 cm; 7 cm CÓ THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 2 (Vận dụng bất đẳng thức vào tam giác cân): Cho tam giác cân có độ dài hai trong ba cạnh là 2 cm, 5 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Suy luận các trường hợp cạnh của tam giác cân. Vì đây là tam giác cân nên nó phải có hai cạnh bằng nhau. Do đó, độ dài ba cạnh của tam giác này chỉ có thể rơi vào một trong hai trường hợp: Trường hợp 1: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 2 cm, 5 cm. Trường hợp 2: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm.

Bước 2: Kiểm tra bất đẳng thức tam giác cho từng trường hợp. Xét trường hợp 1 (2 cm, 2 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 2 = 4 (cm). Vì 4 < 5 (tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại) nên trường hợp này không thoả mãn bất đẳng thức tam giác, không thể tạo thành tam giác.

Xét trường hợp 2 (2 cm, 5 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 5 = 7 (cm). Vì 7 > 5 nên trường hợp này hoàn toàn hợp lệ.

Bước 3: Kết luận và tính chu vi. Vậy tam giác cân đó bắt buộc phải có độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm. Chu vi của tam giác là tổng độ dài ba cạnh: 2 + 5 + 5 = 12 (cm).

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu về hai loại đường và sự đồng quy của chúng:

• Về đường trung tuyến:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng nối đỉnh của một tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác đó.
  • Sự đồng quy (Trọng tâm): Trong một tam giác, ba đường trung tuyến luôn cùng đi qua một điểm (gọi là đồng quy). Điểm gặp nhau này được gọi là trọng tâm của tam giác.
  • Tính chất tỉ lệ: Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. (Ví dụ: Nếu G là trọng tâm và AM là trung tuyến thì GA = 2/3 AM; hoặc nhìn theo cách khác là GA = 2 lần GM).

• Về đường phân giác:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng chia một góc của tam giác thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện gọi là đường phân giác của tam giác.
  • Sự đồng quy: Ba đường phân giác của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
  • Tính chất: Điểm đồng quy của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

2. Kĩ năng giải toán

• Biết cách dùng thước và compa (hoặc thước đo góc) để dựng đường trung tuyến và đường phân giác.
• Vận dụng "tỉ lệ 2/3" của trọng tâm để tính toán độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các tính chất liên quan.
• Vận dụng tính chất "cách đều ba cạnh" của điểm đồng quy phân giác để giải quyết các bài toán về khoảng cách.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ (Vận dụng tính chất trọng tâm của tam giác): Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của GN; lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm trên cùng một đường thẳng. Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC và G là trọng tâm, nên A, G, M thẳng hàng. Theo giả thiết, M là trung điểm của GN và M cũng là trung điểm của AD. Do đó, các điểm A, G, M, N, D đều cùng nằm trên một đường thẳng.

Bước 2: Tìm mối liên hệ tỉ lệ để chứng minh trọng tâm mới. Xét tam giác BCD, ta có M là trung điểm của cạnh BC. => DM chính là một đường trung tuyến của tam giác BCD (xuất phát từ đỉnh D).

Bây giờ ta sẽ xét tỉ lệ của điểm N trên đoạn trung tuyến DM này: Vì M là trung điểm của GN (giả thiết) nên khoảng cách MN = GM. Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM = 1/3 độ dài đoạn AM. => Suy ra: MN = 1/3 AM.

Lại có, M là trung điểm của AD (giả thiết) nên đoạn AM = đoạn DM. Thay DM vào đẳng thức trên, ta được: MN = 1/3 DM.

Bước 3: Kết luận. Trong tam giác BCD, đường trung tuyến là DM. Điểm N nằm trên DM và cách trung điểm M một khoảng bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến DM (hay nói cách khác, N cách đỉnh D một khoảng bằng 2/3 độ dài DM). => Theo tính chất, N chính là trọng tâm của tam giác BCD.

Vì N là trọng tâm của tam giác BCD, nên bất kỳ đường thẳng nào đi qua đỉnh và trọng tâm đều là đường trung tuyến. => Đường thẳng CN kéo dài chính là đường trung tuyến xuất phát từ C của tam giác BCD. => Do đó, đường thẳng CN chắc chắn phải đi qua trung điểm của cạnh đối diện, tức là đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD (điều phải chứng minh).