Toán Lớp 7 Tập 2 (Kết Nối Tri Thức): Giải Bài Tập & Tự Học Tương Tác Trên GogoEdu

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu thêm về hai loại đường đồng quy còn lại:

• Về đường trung trực:

  • Khái niệm: Đường trung trực của mỗi cạnh trong tam giác được gọi là một đường trung trực của tam giác đó (nhắc lại: đường trung trực là đường đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng).
  • Sự đồng quy: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm (đồng quy).
  • Tính chất: Điểm đồng quy này cách đều ba đỉnh của tam giác. (Ví dụ: Nếu ba đường trung trực cắt nhau tại điểm O thì ta luôn có khoảng cách OA = OB = OC).

• Về đường cao:

  • Khái niệm: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao xuất phát từ đỉnh đó của tam giác.
  • Sự đồng quy: Ba đường cao của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
  • Tên gọi: Điểm giao nhau của ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác.

2. Kĩ năng giải toán

• Biết cách dùng thước thẳng, ê-ke và compa để vẽ chính xác đường trung trực và đường cao của tam giác.
• Vận dụng tính chất "cách đều ba đỉnh" của giao điểm ba đường trung trực để giải quyết các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
• Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cao (trực tâm) để chứng minh tính vuông góc giữa các đường thẳng trong tam giác.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Đây là một bài toán chứng minh cực kỳ kinh điển và quan trọng về tính chất của tam giác vuông, được trích xuất từ Ví dụ 1 (trang 57 sách bài tập):

Đề bài: Chứng minh hai tính chất sau: a) Ba đường trung trực của tam giác vuông luôn đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền. b) Nếu điểm đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác nằm trên một cạnh của tam giác, thì tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Chứng minh chiều thuận:

• Bước 1: Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là giao điểm của đường trung trực cạnh AB với cạnh huyền BC.
• Bước 2: Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên M cách đều A và B. Suy ra MA = MB.
• Bước 3: Vì MA = MB nên tam giác MAB là tam giác cân tại M. Từ đó ta có: góc MAB = góc B.
• Bước 4: Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), ta có: góc C + góc B = 90 độ. Mặt khác, ngay tại đỉnh A ta cũng có: góc MAC + góc MAB = 90 độ.
• Bước 5: Vì góc MAB = góc B (chứng minh ở bước 3), nên để hai tổng trên cùng bằng 90 độ, bắt buộc góc MAC phải bằng góc C.
• Bước 6: Vì góc MAC = góc C nên tam giác MAC là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MC.
• Bước 7: Từ (MA = MB) và (MA = MC), ta kết luận được MA = MB = MC. Điều này có nghĩa là điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Mà theo tính chất, điểm cách đều ba đỉnh chính là điểm đồng quy của ba đường trung trực. Đồng thời vì MB = MC nên M chính là trung điểm của cạnh BC. => Vậy ba đường trung trực của tam giác vuông đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền.

Câu b) Chứng minh chiều đảo:

• Bước 1: Giả sử điểm M là điểm đồng quy của ba đường trung trực và M lại nằm trên cạnh BC của tam giác ABC.
• Bước 2: Theo tính chất điểm đồng quy của đường trung trực, M sẽ cách đều ba đỉnh. Suy ra: MA = MB = MC.
• Bước 3: Vì MB = MC và M nằm trên BC nên M là trung điểm của BC.
• Bước 4: Vì MA = MB nên tam giác MAB cân tại M. Suy ra: góc MAB = góc B.
• Bước 5: Vì MA = MC nên tam giác MAC cân tại M. Suy ra: góc MAC = góc C.
• Bước 6: Xét tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có: góc A + góc B + góc C = 180 độ.
• Bước 7: Ta thay góc B bằng góc MAB, và thay góc C bằng góc MAC vào tổng trên, ta được: góc A + góc MAB + góc MAC = 180 độ.
• Bước 8: Mà (góc MAB + góc MAC) cộng lại chính là toàn bộ góc A. Nên phương trình trên trở thành: góc A + góc A = 180 độ, tức là 2 lần góc A = 180 độ. Suy ra góc A = 90 độ. => Tam giác ABC có góc A bằng 90 độ nên nó chính là tam giác vuông. (Điều phải chứng minh)

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương IX

Chương này là nền tảng hình học cực kỳ quan trọng, bạn chỉ cần "bỏ túi" 4 nhóm tính chất sau:

• Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện: Trong một tam giác, góc lớn hơn thì đối diện với cạnh dài hơn, và ngược lại cạnh dài hơn thì đối diện với góc lớn hơn.
• Đường vuông góc và đường xiên: Trong tất cả các đường kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất. Độ dài của nó chính là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng.
• Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
• Sự đồng quy của 4 loại đường đặc biệt:
  • 3 đường trung tuyến: Cắt nhau tại Trọng tâm. Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
  • 3 đường phân giác: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác.
  • 3 đường trung trực: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác.
  • 3 đường cao: Cắt nhau tại Trực tâm.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương IX)

Dưới đây là 2 bài toán trắc nghiệm vô cùng thú vị, đòi hỏi bạn phải kết hợp nhiều kiến thức đã học để tìm ra đáp án.

Ví dụ 1 (Kết hợp đường trung tuyến và bất đẳng thức tam giác - Trích Câu 5 trang 59) Đề bài: Xét hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác ABC có BC = 4 cm. Trong các số sau, số nào có thể là tổng độ dài BM + CN? A. 5 cm B. 5,5 cm C. 6 cm D. 6,5 cm

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Theo tính chất, G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
• Bước 2: Xét tam giác nhỏ GBC nằm bên trong tam giác lớn. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. Ta có: GB + GC > BC.
• Bước 3: Thay số liệu vào bất đẳng thức. Đề bài cho BC = 4 cm, nên ta có: GB + GC > 4 (1).
• Bước 4: Sử dụng tính chất trọng tâm để liên kết với BM và CN. Vì G là trọng tâm, nên đoạn GB = 2/3 BM, và đoạn GC = 2/3 CN.
• Bước 5: Thay tính chất này vào bất đẳng thức (1), ta được: 2/3 BM + 2/3 CN > 4 Rút nhân tử chung ra ngoài: 2/3 (BM + CN) > 4
• Bước 6: Giải bất phương trình để tìm tổng BM + CN: BM + CN > 4 : (2/3) BM + CN > 4 * (3/2) BM + CN > 6 (cm).
• Kết luận: Tổng độ dài hai đường trung tuyến BM + CN bắt buộc phải lớn hơn 6 cm. Trong 4 đáp án đưa ra, chỉ có 6,5 cm là thoả mãn. => Chọn đáp án D.

Ví dụ 2 (Kết hợp tổng 3 góc và đường phân giác - Trích Câu 6 trang 59) Đề bài: Tam giác ABC có số đo ba góc thoả mãn góc A = góc B + góc C. Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Khi đó góc BIC có số đo là bao nhiêu? A. 120 độ B. 125 độ C. 130 độ D. 135 độ

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tìm số đo cụ thể của góc A, B, C. Ta biết tổng 3 góc trong tam giác ABC là: góc A + góc B + góc C = 180 độ. Đề bài cho: góc A = góc B + góc C. Ta gom (góc B + góc C) lại và thay bằng góc A, ta được: góc A + góc A = 180 độ 2 lần góc A = 180 độ => góc A = 90 độ.
• Bước 2: Từ đó, suy ra tổng của hai góc còn lại: góc B + góc C = 90 độ.
• Bước 3: Chuyển sự chú ý sang tam giác IBC (tạo bởi điểm phân giác I). Tổng 3 góc trong tam giác IBC là: góc BIC + góc IBC + góc ICB = 180 độ. => góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB).
• Bước 4: Liên kết góc nhỏ với góc lớn. Vì IB là tia phân giác của góc B, nên góc IBC = 1/2 góc B. Vì IC là tia phân giác của góc C, nên góc ICB = 1/2 góc C. Suy ra tổng hai góc nhỏ: góc IBC + góc ICB = 1/2 góc B + 1/2 góc C = 1/2 (góc B + góc C).
• Bước 5: Thay số vào để tính kết quả. Ta đã biết ở Bước 2 là (góc B + góc C) = 90 độ. Vậy: góc IBC + góc ICB = 1/2 * 90 độ = 45 độ. Thay vào phương trình ở Bước 3, ta có: góc BIC = 180 độ - 45 độ = 135 độ.
• Kết luận: Góc BIC bằng 135 độ. => Chọn đáp án D.

Hai ví dụ trên là minh chứng tuyệt vời cho việc kết hợp các định lí cơ bản lại với nhau để giải những bài toán phức tạp hơn.

1. Kiến thức cần nhớ

• Hình hộp chữ nhật:

  • Có 6 mặt đều là các hình chữ nhật, 8 đỉnh, 12 cạnh, 4 đường chéo.
  • Các cạnh bên luôn song song và bằng nhau.
  • Diện tích xung quanh: Sxq = 2(a + b)c (Trong đó a, b là chiều dài và chiều rộng của đáy; c là chiều cao).
  • Thể tích: V = a.b.c

• Hình lập phương:

  • Là một hình hộp chữ nhật đặc biệt có 6 mặt đều là các hình vuông.
  • Diện tích xung quanh: Sxq = 4a² (Trong đó a là độ dài cạnh).
  • Thể tích: V = a³

2. Kĩ năng giải toán

• Mô tả và gọi tên chính xác các yếu tố cơ bản (đỉnh, cạnh, góc, mặt, đường chéo) của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
• Biết cách áp dụng công thức để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích và thể tích.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết các yếu tố cơ bản): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hãy gọi tên các đỉnh, cạnh, đường chéo và các mặt của hình hộp chữ nhật này.

Bài giải chi tiết:

• Các đỉnh (có 8 đỉnh): A, B, C, D, A', B', C', D'.
• Các cạnh (có 12 cạnh): AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A', AA', BB', CC', DD'.
• Các đường chéo (có 4 đường chéo): AC', BD', CA', DB'.
• Các mặt (có 6 mặt): ABCD, A'B'C'D' (hai mặt đáy); và ABB'A', BCC'B', CDD'C', ADD'A' (bốn mặt bên).

Ví dụ 2 (Tính diện tích và thể tích hình lập phương): Một hình lập phương có cạnh dài 5 cm. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lập phương đó.

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tính diện tích xung quanh. Áp dụng công thức Sxq = 4a². Ta có: Sxq = 4 . 5² Sxq = 4 . 25 = 100 (cm²).
• Bước 2: Tính thể tích. Áp dụng công thức V = a³. Ta có: V = 5³ V = 5 . 5 . 5 = 125 (cm³).
• Kết luận: Diện tích xung quanh là 100 cm² và thể tích là 125 cm³.

Ví dụ 3 (Bài toán thực tế về hình hộp chữ nhật): Bạn Khôi làm một chiếc hộp để đựng quà sinh nhật bằng bìa cứng. Hộp có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm, chiều cao 10 cm. a) Tính thể tích của chiếc hộp. b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm chiếc hộp (bao gồm cả đáy và nắp).

Bài giải chi tiết:

Câu a) Tính thể tích của chiếc hộp: Áp dụng công thức tính thể tích V = a.b.c Thay số: V = 30 . 20 . 10 V = 6000 (cm³).

Câu b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm hộp:

• Bước 1: Tính diện tích xung quanh của hộp. Áp dụng công thức Sxq = 2(a + b)c. Thay số: Sxq = 2 . (30 + 20) . 10 Sxq = 2 . 50 . 10 = 1000 (cm²).

• Bước 2: Tính diện tích của hai mặt đáy (đáy và nắp). Diện tích của một mặt đáy là hình chữ nhật: Sđáy = dài . rộng Sđáy = 30 . 20 = 600 (cm²). Vì hộp có nắp nên diện tích hai đáy (cả trên và dưới) là: 2 . 600 = 1200 (cm²).

• Bước 3: Tính tổng diện tích bìa cứng. Diện tích bìa cứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy. S = Sxq + 2 . Sđáy S = 1000 + 1200 = 2200 (cm²).

• Kết luận: Thể tích hộp là 6000 cm³ và diện tích bìa cứng cần dùng là 2200 cm².

1. Kiến thức cần nhớ

• Đặc điểm của hình lăng trụ đứng tam giác (và tứ giác):
  • Hai mặt đáy luôn song song với nhau.
  • Các mặt bên đều là những hình chữ nhật.
  • Các cạnh bên luôn song song và bằng nhau. Độ dài của một cạnh bên chính là chiều cao của lăng trụ đứng.
• Công thức tính diện tích xung quanh:
  • Sxq = C . h.
  • (Trong đó: Sxq là diện tích xung quanh; C là chu vi của một mặt đáy; h là chiều cao của hình lăng trụ).
• Công thức tính thể tích:
  • V = Sđáy . h.
  • (Trong đó: V là thể tích; Sđáy là diện tích của một mặt đáy; h là chiều cao của hình lăng trụ).

2. Kĩ năng giải toán

• Nhận biết và mô tả được các yếu tố của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác.
• Tính toán thành thạo diện tích xung quanh và thể tích của hai loại hình khối này.
• Giải quyết được các bài toán thực tiễn (như tính toán vật liệu làm hộp, sức chứa của bể...) liên quan đến việc tính diện tích và thể tích.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng tam giác): Tính diện tích xung quanh của một lăng trụ đứng tam giác có chiều cao là 10 cm, biết đáy của nó là một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm.

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tính chu vi mặt đáy (C). Đáy là hình tam giác nên chu vi bằng tổng độ dài ba cạnh. Ta có: C = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).
• Bước 2: Tính diện tích xung quanh. Áp dụng công thức Sxq = C . h. Ta có: Sxq = 12 . 10 = 120 (cm²).
• Kết luận: Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng tam giác là 120 cm².

Ví dụ 2 (Tính thể tích hình lăng trụ đứng tứ giác): Cho một hình lăng trụ đứng tứ giác có chiều cao là 30 cm. Biết đáy của nó là một hình thang vuông có độ dài hai đáy lần lượt là 20 cm và 15 cm, chiều cao của hình thang vuông đó là 10 cm. Hãy tính thể tích của hình lăng trụ đứng này.

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tính diện tích mặt đáy (Sđáy). Đáy lăng trụ là hình thang vuông, áp dụng công thức diện tích hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé) . chiều cao / 2. Ta có: Sđáy = (20 + 15) . 10 / 2 = 35 . 5 = 175 (cm²).
• Bước 2: Tính thể tích lăng trụ đứng. Áp dụng công thức V = Sđáy . h. Ta có: V = 175 . 30 = 5250 (cm³).
• Kết luận: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác là 5250 cm³.

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương X

Trong chương này, chúng ta cần phân biệt rõ ràng đặc điểm và ghi nhớ công thức của hai nhóm hình khối chính:

• Nhóm 1: Hình hộp chữ nhật và Hình lập phương

  • Đặc điểm chung: Đều có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh và 4 đường chéo.
  • Hình hộp chữ nhật: Sxq = 2(a + b)c; Thể tích V = a.b.c (với a, b là chiều dài, chiều rộng; c là chiều cao).
  • Hình lập phương (trường hợp đặc biệt): 6 mặt đều là hình vuông. Sxq = 4a²; Thể tích V = a³ (với a là độ dài cạnh).

• Nhóm 2: Hình lăng trụ đứng tam giác và Hình lăng trụ đứng tứ giác

  • Đặc điểm: Hai mặt đáy song song với nhau. Các mặt bên luôn luôn là những hình chữ nhật,. Các cạnh bên song song, bằng nhau và chính là chiều cao của lăng trụ.
  • Diện tích xung quanh: Sxq = Chu vi đáy . chiều cao.
  • Thể tích: V = Diện tích đáy . chiều cao.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương X)

Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng làm các dạng bài tập từ nhận biết lý thuyết đến áp dụng thực tế nhé.

Ví dụ 1 (Ôn tập lý thuyết qua trắc nghiệm - Trích câu 3, 4, 5 trang 67) Hỏi: a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh? b) Hình lập phương có bao nhiêu đường chéo? c) Mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác là hình gì?

Trả lời nhanh: a) Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh. b) Hình lập phương có 4 đường chéo. c) Mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác luôn là hình chữ nhật.

Ví dụ 2 (Áp dụng công thức cơ bản - Trích Bài 10.16 trang 68) Đề bài: Cho một hình hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 8 cm, chiều rộng 5 cm, chiều cao 6 cm. Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật. Áp dụng công thức V = dài . rộng . cao. Ta có: V = 8 . 5 . 6 = 240 (cm³).

• Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật. Áp dụng công thức Sxq = 2 . (dài + rộng) . cao. Ta có: Sxq = 2 . (8 + 5) . 6 Sxq = 2 . 13 . 6 = 156 (cm²).

• Kết luận: Thể tích của hình là 240 cm³ và diện tích xung quanh là 156 cm².

Ví dụ 3 (Bài toán thực tế tổng hợp - Trích Bài 10.17 trang 68) Đề bài: Một thùng đựng hàng CÓ NẮP dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 3 m, chiều rộng 2 m, chiều cao 1,8 m. Người thợ cần sơn toàn bộ mặt ngoài của chiếc thùng đó. Biết rằng mỗi kilôgam sơn có thể sơn được 5 m² mặt thùng. Hỏi người thợ cần dùng bao nhiêu kilôgam sơn?

Bài giải chi tiết:

• Bước 1: Tính diện tích xung quanh (các mặt bên) của chiếc thùng. Áp dụng công thức Sxq = 2 . (dài + rộng) . cao. Ta có: Sxq = 2 . (3 + 2) . 1,8 = 2 . 5 . 1,8 = 18 (m²).

• Bước 2: Tính diện tích hai mặt đáy (gồm phần đáy thùng và nắp thùng). Diện tích một mặt đáy là: 3 . 2 = 6 (m²). Vì thùng có nắp nên diện tích hai đáy là: 2 . 6 = 12 (m²).

• Bước 3: Tính tổng diện tích bề mặt cần sơn. Diện tích toàn phần = Diện tích xung quanh + Diện tích hai đáy. Diện tích toàn phần = 18 + 12 = 30 (m²).

• Bước 4: Tính số kilôgam sơn cần dùng. Biết 1 kg sơn được 5 m², để sơn 30 m² ta cần thực hiện phép chia. Số kilôgam sơn cần là: 30 : 5 = 6 (kg).

• Kết luận: Người thợ cần dùng tổng cộng 6 kg sơn.

1. Mảng Số học và Đại số

• Số hữu tỉ và Số thực: Sắp xếp, biểu diễn các số hữu tỉ, số thực (chứa căn bậc hai) trên trục số; tính toán giá trị biểu thức, so sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính giá trị tuyệt đối.
• Đại lượng tỉ lệ: Giải các bài toán thực tế liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận (ví dụ: chia số lượng thu gom giấy vụn theo các tỉ lệ cho trước) và đại lượng tỉ lệ nghịch (ví dụ: bài toán vận tốc và thời gian của hai xe).
• Đa thức một biến: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân đa thức; tính giá trị của đa thức tại một điểm cụ thể, phân tích nghiệm và tìm đa thức chưa biết.

2. Mảng Hình học

• Góc và đường thẳng song song: Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, góc so le trong, góc đồng vị để tính toán số đo góc và chứng minh các tam giác bằng nhau.
• Tam giác: Chứng minh hai tam giác bằng nhau, vận dụng các tính chất của tam giác cân để tính góc và chứng minh đoạn thẳng.
• Các đường đồng quy trong tam giác: Nhận biết, chứng minh sự đồng quy của ba đường cao (trực tâm), đường trung tuyến; thực hành kỹ năng dựng hình bằng thước và compa.

3. Mảng Thống kê và Xác suất

• Thống kê: Đọc, phân tích và đưa ra nhận xét từ dữ liệu trên biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình quạt tròn; đánh giá phương pháp thu thập dữ liệu và tính đại diện của dữ liệu.
• Xác suất của biến cố: Tìm số lượng phần tử để thoả mãn điều kiện của biến cố (chắc chắn, không thể) và tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên thông qua bài toán bốc bi ngẫu nhiên từ trong hộp.