📚 Toán 7(tập 1) 16 📚 Toán 7(tập 2) 24 📚 Tiếng Anh 4 📚 Vocabulary 12 📚 Writing 21 📚 Grammar 12 📚 Reading 14 📚 Speaking 12 📚 Khoa học tự nhiên 42
Xem và tải phiếu bài tập
Bài 25: Đa thức một biến

1. Kiến thức cần nhớ

  • Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.
    • Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến.
    • Muốn nhân hai đơn thức tuỳ ý, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau.
  • Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
    • Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
    • Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.
    • Ta thường viết đa thức dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.
  • Các đặc trưng của đa thức (khác đa thức không) trong dạng thu gọn:
    • Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức.
    • Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
    • Hệ số của hạng tử bậc 0 (hạng tử không chứa biến) gọi là hệ số tự do.
  • Đa thức không là đa thức không có bậc.
  • Nghiệm của đa thức: Nếu tại $x = a$ ($a$ là một số), giá trị của một đa thức bằng 0 thì ta gọi $a$ (hay $x = a$) là một nghiệm của đa thức đó.

2. Kĩ năng giải toán

  • Nhận biết đơn thức, hệ số và bậc của đơn thức.
  • Cộng, trừ hai đơn thức cùng bậc; nhân hai đơn thức tuỳ ý.
  • Nhận biết một đa thức; thu gọn và sắp xếp các hạng tử của một đa thức theo luỹ thừa giảm của biến.
  • Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức.
  • Nhận biết các hệ số và bậc của các hạng tử trong một đa thức.
  • Tính giá trị của một đa thức tại một giá trị cho trước của biến; kiểm tra xem một số có phải là nghiệm của một đa thức hay không.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Cho đa thức $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$.

a) Thu gọn đa thức $P(x)$ và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Tính giá trị của đa thức tại mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp ${-2; -1; 0; 1}$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức $P(x)$.

Bài giải:

a) Ta tiến hành đồng thời vừa thu gọn, vừa sắp xếp các hạng tử của đa thức bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc (nếu có) từ bậc cao đến bậc thấp như sau: $P(x) = 2 - 3,5x^4 - 5x^2 + 3x^2 + x + \frac{7}{2}x^4 - 2x^3 - 1$ $= \left(-3,5x^4 + \frac{7}{2}x^4\right) - 2x^3 + \left(3x^2 - 5x^2\right) + x + \left(-1 + 2\right)$ $= \left(-3,5 + \frac{7}{2}\right)x^4 - 2x^3 + (3 - 5)x^2 + x + (-1 + 2)$ $= 0x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1$ Kết quả ta được đa thức $P(x) = -2x^3 - 2x^2 + x + 1$. Hạng tử có bậc cao nhất là $-2x^3$, bậc 3, nên $P(x)$ là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là $-2$ và hệ số tự do là 1.

b) Ta có: $P(-2) = -2 \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = 16 - 8 - 1 = 7$. $P(-1) = -2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$. Tương tự, $P(0) = 1$ và $P(1) = -2$. Vậy $x = -1$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$.

Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

1. Kiến thức cần nhớ

  • Hai cách trình bày phép cộng (hay trừ) hai đa thức:
    • Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc và nối chúng bởi dấu '+' (hay '-'). Sau đó bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
    • Cách 2: Đặt tính cộng (hay trừ) sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thẳng cột với nhau rồi cộng (hay trừ) theo từng cột.
  • Tính chất: Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp.
  • Quy tắc chuyển vế: Với các đa thức $A, B, C$ ta có:
    • Nếu $A + B = C$ thì $A = C - B$. Ngược lại, nếu $A = C - B$ thì $A + B = C$.
    • $A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)$.

2. Kĩ năng giải toán

  • Cộng hay trừ hai đa thức và trình bày bằng hai cách.
  • Áp dụng các tính chất của phép cộng hai đa thức trong tính toán.
  • Giải toán liên quan đến cộng, trừ đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Ví dụ: Cho hai đa thức $P(x) = x^4 - 5x^3 + 4x - 5$ và $Q(x) = -x^4 + 3x^2 + 2x + 1$.

a) Hãy tìm tổng $P(x) + Q(x)$.

b) Tìm đa thức $R(x)$ sao cho $P(x) = R(x) + Q(x)$.

Bài giải chi tiết:

a) Tính tổng $P(x) + Q(x)$:

  • Cách 1 (Nhóm các hạng tử cùng bậc):

$P(x) + Q(x) = (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) + (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 - x^4 + 3x^2 + 2x + 1$

$= (x^4 - x^4) - 5x^3 + 3x^2 + (4x + 2x) + (1 - 5)$

$= -5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

  • Cách 2 (Đặt tính cộng): $\phantom{P(x) + Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$

  • $+$ $\phantom{P(x) + Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$ $-------------------------$

  • $P(x) + Q(x) = \phantom{-x^4} - 5x^3 + 3x^2 + 6x - 4$.

b) Muốn tìm $R(x)$ để $P(x) = R(x) + Q(x)$, ta cần tính $R(x) = P(x) - Q(x)$:

  • Cách 1: $R(x) = P(x) - Q(x)= (x^4 - 5x^3 + 4x - 5) - (-x^4 + 3x^2 + 2x + 1)$

$= x^4 - 5x^3 + 4x - 5 + x^4 - 3x^2 - 2x - 1$

$= (x^4 + x^4) - 5x^3 - 3x^2 + (4x - 2x) + (-1 - 5)$

$= 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

  • Cách 2: $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ }x^4 - 5x^3 \phantom{+ 3x^2\ } + 4x - 5$ $-$

  • $\phantom{R(x) = P(x) - Q(x) = }-x^4 \phantom{- 5x^3\ } + 3x^2 + 2x + 1$

  • $-------------------------$ $R(x) = P(x) - Q(x) =\ \ 2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 2x - 6$.

Chú ý: Trong ví dụ trên, ta thấy đa thức $P$ khuyết hạng tử bậc hai và đa thức $Q$ khuyết hạng tử bậc ba. Do đó khi viết hai đa thức $P$ và $Q$ trong cách đặt tính cộng (trừ), ta đã để khoảng trống ứng với các hạng tử bị khuyết ấy.

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

1. Kiến thức cần nhớ

  • Cách nhân hai đa thức một biến:
    • Nhân hai đơn thức: $(ax^n)(bx^m) = (ab)x^{n+m}$, trong đó $a, b \in \mathbb{R}; n, m \in \mathbb{N}$.
    • Nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
  • Tính chất: Phép nhân đa thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng đa thức.

2. Kĩ năng giải toán

  • Nhân hai đa thức tuỳ ý bằng cách đặt tính nhân.
  • Áp dụng các tính chất của phép nhân hai đa thức trong tính toán.
  • Giải toán liên quan đến nhân đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Để phần ví dụ được phong phú và trình bày rõ ràng theo từng câu a, b, c như bạn yêu cầu, tôi đã tổng hợp các dạng bài tập tiêu biểu (rút gọn biểu thức, đặt tính nhân và tính giá trị biểu thức) từ tài liệu:

Đề bài: Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$.

b) Tính $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x)$ bằng cách đặt tính nhân.

c) Rút gọn biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được tại $x = 0,5$: $(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$.

Bài giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức: $(12x - 5)(4x - 1) - (3x - 7)(16x - 1)$

$= [(12x - 5)4x - (12x - 5)] - [(3x - 7)16x - (3x - 7)]$

$= (48x^2 - 20x - 12x + 5) - (48x^2 - 112x - 3x + 7)$

$= 48x^2 - 20x - 12x + 5 - 48x^2 + 112x + 3x - 7$

$= (48x^2 - 48x^2) - (20x + 12x - 112x - 3x) + (5 - 7)$

$= 83x - 2$.

b) Đặt tính nhân: Ta viết $5 - x$ thành đa thức $-x + 5$ và đặt tính nhân sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau như sau:

$\phantom{xxxxx}x^3 + 2x^2 - x - 1$

$\times$ $\phantom{xxxxxx.xxxxx}- x + 5$

$-----------------$

$\phantom{xxxx}5x^3 + 10x^2 - 5x - 5$

(Tích của $5$ với đa thức thứ nhất)

$+$

$-x^4 - 2x^3 + \phantom{1}x^2 + x$

(Tích của $-x$ với đa thức thứ nhất)

$-----------------$

$-x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$

Vậy $(x^3 + 2x^2 - x - 1)(5 - x) = -x^4 + 3x^3 + 11x^2 - 4x - 5$.

c) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Trước tiên, thực hiện phép nhân phân phối để rút gọn đa thức:

$(4x^4 - 6x^2 + 9)(2x^2 + 3)$

$= 4x^4(2x^2 + 3) - 6x^2(2x^2 + 3) + 9(2x^2 + 3)$

$= 8x^6 + 12x^4 - 12x^4 - 18x^2 + 18x^2 + 27$

$= 8x^6 + 27$.

Tiếp theo, thay $x = 0,5$ (tức là $x = \frac{1}{2}$) vào đa thức đã rút gọn, ta được:

Giá trị biểu thức $= 8 \cdot (0,5)^6 + 27 = 8 \cdot \frac{1}{64} + 27 = \frac{1}{8} + 27 = 27,125$.

Vậy giá trị của đa thức tại $x = 0,5$ là $27,125$.

Bài 28: Phép chia đa thức một

1. Kiến thức cần nhớ

  • Phép chia hết: Cho hai đa thức A và B (B khác 0). Nếu có đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết A : B = Q, trong đó A là đa thức bị chia, B là đa thức chia, Q là đa thức thương.
  • Cách chia đa thức cho đa thức: Đặt tính và chia tương tự phép chia hai số tự nhiên cho đến khi đa thức dư là đa thức không hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
  • Dạng tổng quát: A = B.Q + R. Trong đó, R = 0 (phép chia hết) hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (phép chia có dư).

2. Kĩ năng giải toán

  • Chia đa thức tuỳ ý bằng cách đặt tính chia.
  • Nhận biết thương và dư trong phép chia đa thức.

3. Ví dụ tham khảo

Đề bài: Bằng cách đặt tính chia, tìm thương và dư trong các phép chia đa thức A cho đa thức B sau:

a) A = 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2; B = x² - 2

b) A = 3x⁴ + x³ + 6x - 5; B = x² + 1

Bài giải:

Câu a)

  2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 | x² - 2
-                          |---------------
  2x⁴       - 4x²          | 2x² - 3x + 1
  ------------------------ |
      - 3x³ +  x² + 6x - 2 |
    -                      |
      - 3x³       + 6x     |
      -------------------- |
               x²      - 2 |
             -             |
               x²      - 2 |
               ----------- |
                         0

Kết quả ta có phép chia hết, thương là Q = 2x² - 3x + 1 và dư R = 0.

Câu b)

  3x⁴ +  x³        + 6x - 5 | x² + 1
-                           |--------------
  3x⁴       + 3x²           | 3x² + x - 3
  ------------------------- |
         x³ - 3x² + 6x - 5  |
       -                    |
         x³       +  x      |
         ------------------ |
            - 3x² + 5x - 5  |
          -                 |
            - 3x²      - 3  |
            --------------  |
                    5x - 2

Kết quả ta được thương là Q = 3x² + x - 3 và dư là R = 5x - 2.

Ôn tập Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VII

Trong chương này, chúng ta cần nắm vững 5 nội dung chính:

  • Biểu thức đại số: Hiểu khái niệm biến số và biết cách thay giá trị của biến vào biểu thức để tính toán.
  • Đa thức một biến: Nhận biết được bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một đa thức đã thu gọn. Biết cách kiểm tra một số có phải là nghiệm của đa thức hay không.
  • Phép cộng và trừ đa thức: Nắm vững hai cách trình bày (nhóm các hạng tử cùng bậc hoặc đặt tính theo cột dọc).
  • Phép nhân đa thức: Nắm vững quy tắc nhân đơn thức với đơn thức, đa thức với đa thức.
  • Phép chia đa thức: Biết cách đặt tính chia đa thức cho đa thức, phân biệt được phép chia hết (dư 0) và phép chia có dư.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập chương VII)

Ví dụ 1 (Nhận biết các yếu tố của đa thức - Trích Câu hỏi trắc nghiệm 2 & 4 trang 35) a) Cho đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x. Hãy xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của G(x). b) Cho đa thức P(x) = x² + 5x - 6. Chứng tỏ rằng x = 1 và x = -6 là hai nghiệm của P(x).

Bài giải:

a) Đa thức G(x) = 4x³ + 2x² - 5x đã được thu gọn. Hạng tử có bậc cao nhất là 4x³ (bậc 3). Do đó, hệ số cao nhất là 4. Đa thức không có hạng tử nào chỉ là số (không chứa biến x), tức là cộng với 0. Do đó, hệ số tự do là 0. => Kết luận: Hệ số cao nhất là 4, hệ số tự do là 0.

b) Để chứng tỏ một số là nghiệm, ta thay số đó vào đa thức xem kết quả có bằng 0 hay không: Thay x = 1 vào P(x), ta có: P(1) = 1² + 5.1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0. Vậy x = 1 là một nghiệm của P(x).

Thay x = -6 vào P(x), ta có: P(-6) = (-6)² + 5.(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0. Vậy x = -6 là một nghiệm của P(x).

Ví dụ 2 (Tổng hợp các phép tính cộng, trừ và tìm nghiệm - Trích Bài 7.37 trang 36)

Cho hai đa thức sau: P(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 Q(x) = -3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức: S(x) = P(x) + Q(x) D(x) = P(x) - Q(x)

b) Trong tập hợp {-1; 0; 1}, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức S(x) và D(x).

Bài giải:

a) Tính đa thức S(x) và D(x):

  • Tính S(x) = P(x) + Q(x): S(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) + (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc: S(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 - 3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: S(x) = (3x⁵ - 3x⁵) - 2x⁴ - x³ + (7x² - 7x²) + (3x + 2x) + (-10 + 10) Thu gọn: S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x

Đa thức S(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là -2, hệ số tự do là 0.

  • Tính D(x) = P(x) - Q(x): D(x) = (3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10) - (-3x⁵ - x³ - 7x² + 2x + 10) Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu toàn bộ đa thức Q): D(x) = 3x⁵ - 2x⁴ + 7x² + 3x - 10 + 3x⁵ + x³ + 7x² - 2x - 10 Nhóm các hạng tử cùng bậc: D(x) = (3x⁵ + 3x⁵) - 2x⁴ + x³ + (7x² + 7x²) + (3x - 2x) + (-10 - 10) Thu gọn: D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20

Đa thức D(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là 6, hệ số tự do là -20.

b) Tìm nghiệm trong tập hợp {-1; 0; 1}:

  • Xét đa thức S(x) = -2x⁴ - x³ + 5x: Thay x = -1: S(-1) = -2.(-1)⁴ - (-1)³ + 5.(-1) = -2 + 1 - 5 = -6 (khác 0) Thay x = 0: S(0) = -2.0⁴ - 0³ + 5.0 = 0 Thay x = 1: S(1) = -2.1⁴ - 1³ + 5.1 = -2 - 1 + 5 = 2 (khác 0) => Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức S(x).

  • Xét đa thức D(x) = 6x⁵ - 2x⁴ + x³ + 14x² + x - 20: (Gợi ý: Ta chỉ cần nhẩm, nếu tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm). Thay x = 1 vào D(x): D(1) = 6.1⁵ - 2.1⁴ + 1³ + 14.1² + 1 - 20 D(1) = 6 - 2 + 1 + 14 + 1 - 20 = 22 - 22 = 0 => Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).

Bài 29: Làm quen với biến cố

1. Kiến thức cần nhớ

  • Định nghĩa chung: Các hiện tượng, sự kiện xảy ra trong tự nhiên, cuộc sống được gọi chung là các biến cố.
  • Phân loại biến cố: Có 3 loại biến cố chính:
    • Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn xảy ra.
    • Biến cố không thể: Là biến cố biết trước không bao giờ xảy ra.
    • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố không biết trước có xảy ra hay không xảy ra.

2. Kĩ năng giải toán

  • Nhận biết một biến cố thuộc loại nào trong ba loại: Biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1: Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?

a) Biến cố A: "Nhiệt độ cao nhất trong tháng Mười hai năm sau ở Hà Nội là trên 40°C".

b) Biến cố B: "Mùa hè năm sau có triều cường lớn ở Thành phố Hồ Chí Minh".

c) Biến cố C: "Khi gieo ba con xúc xắc thì tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 2".

Bài giải: a) Biến cố A là biến cố không thể. Giải thích: Vì nhiệt độ vào tháng Mười hai (mùa đông) ở Hà Nội không bao giờ vượt quá 40°C.

b) Biến cố B là biến cố ngẫu nhiên,. Giải thích: Vì mùa hè năm sau có thể có triều cường lớn ở Thành phố Hồ Chí Minh và cũng có thể không có. Đây là hiện tượng thiên nhiên mà khoa học không thể dự đoán chính xác 100%.

c) Biến cố C là biến cố chắc chắn. Giải thích: Vì mỗi con xúc xắc có ít nhất 1 chấm, nên khi gieo ba con, tổng số chấm nhỏ nhất có thể đạt được là 3 (nếu cả ba con đều ra mặt 1 chấm). Do đó, tổng số chấm luôn luôn lớn hơn 2.

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp S = {2; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20}. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên?

a) Biến cố A: "Số được chọn là số chẵn".

b) Biến cố B: "Số được chọn chia hết cho 5".

c) Biến cố C: "Số được chọn là số lẻ".

Bài giải:

a) Biến cố A là biến cố chắc chắn. Giải thích: Vì tất cả các phần tử trong tập hợp S đều là các số chẵn, nên chắc chắn số được chọn sẽ luôn là số chẵn.

b) Biến cố B là biến cố ngẫu nhiên. Giải thích: Vì ta không biết trước chính xác số nào sẽ được chọn. Nếu chọn được số 10 hoặc 20 thì biến cố B xảy ra; nếu chọn được các số khác (như 2, 6, 8...) thì biến cố B không xảy ra.

c) Biến cố C là biến cố không thể. Giải thích: Vì trong tập hợp S hoàn toàn không có số lẻ nào, nên không bao giờ có thể chọn được số lẻ.

Bài 30: Làm quen với xác suất của biến cố

1. Kiến thức cần nhớ

  • Khái niệm xác suất:
    • Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó.
    • Xác suất của một biến cố được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.
  • Xác suất của một số biến cố đơn giản:
    • Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1.
    • Biến cố không thể có xác suất bằng 0.
    • Biến cố ngẫu nhiên có xác suất là một số lớn hơn 0 và bé hơn 1.
  • Biến cố đồng khả năng:
    • Các biến cố gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của mỗi biến cố như nhau.
    • Nếu có k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong k biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng 1/k.

2. Kĩ năng giải toán

  • Để tính xác suất của một biến cố, đầu tiên ta cần xác định biến cố đang xét thuộc loại nào: Biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên.
  • Nếu là biến cố chắc chắn thì xác suất bằng 1.
  • Nếu là biến cố không thể thì xác suất bằng 0.
  • Nếu là biến cố ngẫu nhiên thì cần chỉ ra nó nằm trong nhóm k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong nhóm này. Khi đó xác suất của biến cố bằng 1/k.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Đề bài: Một chiếc hộp đựng tám tấm thẻ ghi các số 5; 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để:

a) Rút được tấm thẻ ghi số nhỏ hơn 14.

b) Rút được tấm thẻ ghi số 10.

c) Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố.

d) Rút được tấm thẻ ghi số 9.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số nhỏ hơn 14" là một biến cố chắc chắn. Lý do: Trong hộp, cả 8 tấm thẻ đều ghi các số nhỏ hơn 14 (số lớn nhất trong hộp là 13). Vậy, xác suất của biến cố này bằng 1.

Câu b) Biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số 10" là một biến cố không thể. Lý do: Trong hộp hoàn toàn không có tấm thẻ nào ghi số 10. Vậy, xác suất của biến cố này bằng 0.

Câu c) Trong hộp có 4 tấm thẻ ghi số nguyên tố là: 5; 7; 11; 13. Đồng thời, có 4 tấm thẻ ghi hợp số là: 6; 8; 9; 12. Vì ta rút ngẫu nhiên nên mỗi tấm thẻ có khả năng được rút là như nhau. Do số lượng thẻ nguyên tố và thẻ hợp số bằng nhau (đều là 4 thẻ), nên biến cố "Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố" và biến cố "Rút được tấm thẻ ghi hợp số" là đồng khả năng. Vì khi rút 1 thẻ, luôn xảy ra duy nhất một trong hai biến cố này, nên xác suất để rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố là 1/2.

Câu d) Vì rút ngẫu nhiên nên mỗi tấm thẻ đều có khả năng rút được như nhau. Trong hộp có tất cả 8 tấm thẻ, nên có 8 biến cố đồng khả năng (rút được thẻ số 5, thẻ số 6, ..., thẻ số 13). Vì luôn xảy ra duy nhất một trong 8 biến cố đó khi ta rút 1 thẻ, nên xác suất để rút được tấm thẻ ghi số 9 là 1/8.

Ôn tập Chương VIII: Làm quen với biến cố và xác suất của biến cố

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VIII

Trong chương này, kiến thức khá ngắn gọn và mang tính thực tế cao. Bạn chỉ cần ghi nhớ 2 mảng chính:

  • Về Biến cố: Có 3 loại biến cố:

    • Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn luôn xảy ra.
    • Biến cố không thể: Là biến cố biết trước không bao giờ xảy ra.
    • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không.

  • Về Xác suất của biến cố: Đây là con số từ 0 đến 1 thể hiện khả năng xảy ra của biến cố:

    • Biến cố chắc chắn luôn có xác suất bằng 1.
    • Biến cố không thể luôn có xác suất bằng 0.
    • Biến cố đồng khả năng: Nếu có k biến cố đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau) và luôn xảy ra duy nhất một trong k biến cố đó, thì xác suất của mỗi biến cố sẽ bằng 1/k.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương VIII)

Ví dụ 1 (Phân tích tính đồng khả năng - Trích Câu 4 trang 44) Một thùng kín có 20 quả bóng màu đỏ và 20 quả bóng màu xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Hãy tính xác suất của các biến cố sau: a) "Lấy được quả bóng màu xanh". b) "Lấy được quả bóng màu đỏ". c) "Lấy được quả bóng màu đỏ hoặc màu xanh".

Bài giải chi tiết:

Câu a và b) Trong thùng có tổng cộng 40 quả bóng, gồm 20 quả bóng xanh và 20 quả bóng đỏ. Vì Sơn lấy ngẫu nhiên và số lượng bóng của hai màu là bằng nhau (đều là 20 quả), nên khả năng Sơn lấy được bóng xanh và khả năng lấy được bóng đỏ là như nhau. Do đó, hai biến cố "Lấy được quả bóng màu xanh" và "Lấy được quả bóng màu đỏ" là hai biến cố đồng khả năng. Mỗi lần lấy, Sơn chắc chắn sẽ lấy được một quả bóng mang 1 trong 2 màu này (tức là luôn xảy ra duy nhất 1 trong 2 biến cố). Vậy, xác suất của biến cố "Lấy được quả bóng màu xanh" bằng 1/2 (hoặc 0,5). Tương tự, xác suất của biến cố "Lấy được quả bóng màu đỏ" cũng bằng 1/2 (hoặc 0,5).

Câu c) Biến cố "Lấy được quả bóng màu đỏ hoặc màu xanh" là một biến cố chắc chắn. Bởi vì trong thùng chỉ có đúng 2 loại màu bóng này, lấy quả nào thì nó cũng sẽ mang màu đỏ hoặc màu xanh. Vì là biến cố chắc chắn nên xác suất của biến cố này bằng 1.

Ví dụ 2 (Tổng hợp các loại biến cố - Trích Bài 8.11 trang 45) Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 8 phần có diện tích bằng nhau và ghi các số từ 1 đến 8. Các phần này được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Hùng quay tấm bìa. Tính xác suất để: a) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số nhỏ hơn 9. b) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0. c) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số chẵn. d) Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 7.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Tất cả 8 hình quạt đều ghi các số từ 1 đến 8, tức là tất cả các số này đều nhỏ hơn 9. Do đó, việc mũi tên dừng ở hình quạt ghi số nhỏ hơn 9 là một biến cố chắc chắn. Vậy xác suất của biến cố này bằng 1.

Câu b) Trên tấm bìa không có bất kỳ hình quạt nào ghi số 0. Do đó, việc mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0 là một biến cố không thể. Vậy xác suất của biến cố này bằng 0.

Câu c) Trong 8 phần của tấm bìa, có 4 phần ghi số chẵn (2; 4; 6; 8) và 4 phần ghi số lẻ (1; 3; 5; 7). Vì diện tích các phần bằng nhau nên khả năng mũi tên dừng ở mỗi phần là như nhau. Do số lượng phần chẵn và lẻ bằng nhau (đều là 4 phần), nên hai biến cố "Mũi tên dừng ở số chẵn" và "Mũi tên dừng ở số lẻ" là đồng khả năng. Vì luôn xảy ra duy nhất một trong hai trường hợp (chẵn hoặc lẻ), nên xác suất của biến cố "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số chẵn" là 1/2.

Câu d) Tấm bìa được chia làm 8 phần bằng nhau nên sẽ có 8 biến cố đồng khả năng tương ứng với việc mũi tên dừng ở từng phần riêng biệt (dừng ở số 1, dừng ở số 2, ..., dừng ở số 8). Mỗi lần quay sẽ luôn xảy ra duy nhất một trong 8 biến cố đó. Dựa vào quy tắc, xác suất để mũi tên dừng ở một hình quạt cụ thể (ở đây là số 7) sẽ là 1/8.

Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

1. Kiến thức cần nhớ

Định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác có hai ý chính cần nắm vững:

  • Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
  • Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

2. Kĩ năng giải toán

  • So sánh hai góc của một tam giác dựa vào độ dài các cạnh đối diện.
  • So sánh hai cạnh của một tam giác dựa vào số đo hai góc đối diện.
  • Chú ý quan trọng:
    • Khi cần so sánh hai góc, hãy để ý đến độ dài các cạnh đối diện của chúng. Luôn nhớ rằng tổng số đo 3 góc trong một tam giác luôn bằng 180° để tính góc còn thiếu.
    • Khi cần so sánh hai cạnh, hãy để ý đến số đo các góc đối diện của chúng trong tam giác đó.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Sắp xếp độ dài các cạnh): Cho tam giác ABC có góc A = 45°, góc B = 75°. Hãy sắp xếp độ dài các cạnh của tam giác đó từ bé đến lớn.

Bài giải chi tiết: Trong tam giác ABC, tổng số đo ba góc luôn bằng 180°. Do đó, ta tính được góc C bằng: góc C = 180° - góc A - góc B. góc C = 180° - 45° - 75° = 60°.

Ta có số đo ba góc là: góc A = 45°, góc C = 60°, góc B = 75°. Sắp xếp các góc từ bé đến lớn, ta được: 45° < 60° < 75°, tức là: góc A < góc C < góc B.

Dựa vào định lí "Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn": Cạnh đối diện với góc A là cạnh BC. Cạnh đối diện với góc C là cạnh AB. Cạnh đối diện với góc B là cạnh AC. Từ thứ tự các góc (góc A < góc C < góc B), ta suy ra thứ tự các cạnh là: BC < AB < AC.

Ví dụ 2 (So sánh góc và xác định vị trí điểm): Cho tam giác ABC với đường cao AH, H ở giữa B và C, biết AB > AC. a) Hãy so sánh hai góc HAB và HAC. b) Nếu tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D thì H thuộc đoạn thẳng DC hay đoạn thẳng DB? Vì sao?

Bài giải chi tiết:

Câu a) So sánh góc HAB và HAC: Xét tam giác ABC, vì cạnh AB > cạnh AC nên góc đối diện với AB sẽ lớn hơn góc đối diện với AC. Suy ra: góc C > góc B (1).

Vì điểm H nằm giữa B và C nên góc B và góc C đều là các góc nhọn. Trong tam giác vuông AHB (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAB + góc B = 90°. Trong tam giác vuông AHC (vuông tại H), hai góc nhọn phụ nhau nên: góc HAC + góc C = 90°.

Từ hai điều trên, ta suy ra: góc HAB + góc B = góc HAC + góc C (vì cùng bằng 90°). Mà theo chứng minh ở (1), ta đã có góc C > góc B. Để tổng hai vế bằng nhau, khi góc C lớn hơn góc B thì bắt buộc góc HAB phải lớn hơn góc HAC. Vậy: góc HAB > góc HAC.

Câu b) Xác định vị trí điểm H: Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên tia này chia góc BAC thành hai phần bằng nhau: góc DAB = góc DAC.

Tổng của hai góc nhỏ bằng góc lớn, nên ta có: góc DAB + góc DAC = góc BAC. Thay góc DAB bằng góc DAC (vì chúng bằng nhau), ta được: 2 lần góc DAC = góc BAC.

Mặt khác, ta cũng có tổng: góc HAC + góc HAB = góc BAC. Suy ra: góc HAC + góc HAB = 2 lần góc DAC.

Theo kết quả câu a, ta có góc HAB > góc HAC. Tổng của hai góc (một lớn, một nhỏ) bằng 2 lần góc DAC. Điều này dẫn đến góc nhỏ hơn (là góc HAC) bắt buộc phải nhỏ hơn mức trung bình (là góc DAC). Tức là: góc HAC < góc DAC.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, vì góc HAC nhỏ hơn góc DAC nên tia AH phải nằm giữa tia AC và tia AD. Từ đó suy ra điểm H phải nằm giữa C và D.

Vậy: Điểm H thuộc đoạn thẳng CD.

 

Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

1. Kiến thức cần nhớ

  • Khái niệm đường xiên và đường vuông góc:
    • Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy một điểm M tuỳ ý trên đường thẳng d. Khi đó đoạn thẳng AM được gọi là một đường xiên kẻ từ A đến d.
    • Nếu lấy điểm H trên d sao cho AH vuông góc với d, thì đoạn thẳng AH được gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến d. Điểm H khi đó được gọi là chân đường vuông góc (hay hình chiếu của A lên d).
  • Tính chất đường vuông góc là đường ngắn nhất:
    • Trong tất cả các đoạn thẳng (đường xiên, đường vuông góc) kẻ từ một điểm A ngoài đường thẳng d đến các điểm nằm trên d, đoạn vuông góc AH luôn là đoạn ngắn nhất.
    • Độ dài của đoạn thẳng vuông góc AH này chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

2. Kĩ năng giải toán

  • Để thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta cần dựng đoạn thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng.
  • Vận dụng tính chất "đoạn thẳng ngắn nhất" để so sánh độ dài giữa đường vuông góc và đường xiên (thường dựa vào định lí trong tam giác vuông).
  • So sánh các đường xiên với nhau bằng cách vận dụng các tính chất của tam giác (như tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều).

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng): Hãy giải thích tại sao trong mỗi tam giác, chiều cao ứng với một đỉnh luôn là độ dài ngắn nhất trong số các đoạn thẳng nối từ đỉnh đó đến một điểm tuỳ ý thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Bài giải chi tiết: Xét tam giác ABC, kẻ chiều cao AH ứng với đỉnh A (H thuộc đường thẳng BC). Theo định nghĩa, chiều cao AH chính là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh A và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện BC. Vì AH vuông góc với BC nên AH là đường vuông góc. Các đoạn thẳng nối từ A đến một điểm bất kì khác trên đường thẳng BC đều là đường xiên. Theo tính chất "đường vuông góc là đường ngắn nhất", AH luôn có độ dài ngắn nhất. Độ dài đoạn AH này cũng chính là khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng BC.

Ví dụ 2 (Vận dụng để chứng minh phân giác): Cho điểm A không thuộc đường thẳng BC. Xét bốn đoạn thẳng AB, AH, AE, AC kẻ từ A đến đường thẳng BC thoả mãn các tính chất sau: AH vuông góc với đường thẳng BC, H là trung điểm của BE, E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu AE = EC thì AE là tia phân giác của góc HAC.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều. Xét hai tam giác vuông AHB và AHE, ta có: Cạnh AH là cạnh chung. HB = HE (do H là trung điểm của BE theo giả thiết). => Vậy tam giác AHB = tam giác AHE (theo trường hợp hai cạnh góc vuông - c.g.c). Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: AB = AE (1).

Mặt khác, theo giả thiết ta có: E là trung điểm của BC nên BE = EC. Đề bài cũng cho AE = EC. => Bắt cầu qua EC, ta suy ra: BE = AE (2).

Từ (1) và (2), ta gom lại được: AB = BE = AE. Vì tam giác ABE có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ABE là tam giác đều.

Bước 2: Tính số đo góc HAE. Vì tam giác ABE đều nên góc ở đỉnh là góc BAE = 60°. Trong tam giác cân (hoặc đều) ABE, đường cao AH đồng thời là đường phân giác. => Góc HAE = 1/2 góc BAE = 1/2 * 60° = 30° (3).

Bước 3: Tính số đo góc EAC. Xét tam giác AEC, ta có AE = EC (giả thiết) nên tam giác AEC là tam giác cân tại E. Góc AEB là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác AEC. (Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó). => Góc AEB = góc EAC + góc C. Vì tam giác AEC cân tại E nên góc EAC = góc C. => Góc AEB = 2 lần góc EAC. Mà tam giác ABE đều (chứng minh trên) nên góc AEB = 60°. => 2 lần góc EAC = 60°. => Góc EAC = 30° (4).

Bước 4: Kết luận. Từ kết quả (3) và (4), ta thấy: Góc HAE = 30° và góc EAC = 30°. => Góc HAE = góc EAC (= 30°). Hai góc này bằng nhau và tia AE nằm giữa hai tia AH, AC nên AE chính là tia phân giác của góc HAC (điều phải chứng minh).

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

1. Kiến thức cần nhớ

  • Bất đẳng thức tam giác (về tổng): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tuỳ ý của một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a < b + c.
  • Bất đẳng thức tam giác (về hiệu): Độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Ví dụ: a > b - c (với điều kiện b lớn hơn hoặc bằng c).
  • Viết gộp lại: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta luôn có mối liên hệ: b - c < a < b + c.

2. Kĩ năng giải toán

  • Để kiểm tra xem ba độ dài cho trước có thể tạo thành một tam giác hay không, ta không cần phải thử tất cả các trường hợp.
  • Mẹo giải nhanh: Bạn chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng của hai độ dài còn lại (nếu độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia thì đó là tam giác), hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu của hai độ dài còn lại.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết bộ ba cạnh của tam giác): Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau: a) 3 cm; 8 cm; 4 cm. b) 5 cm; 3 cm; 7 cm. Hỏi bộ ba đoạn thẳng nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Bài giải chi tiết:

Câu a) Xét bộ ba độ dài: 3 cm; 8 cm; 4 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 8 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 3 + 4 = 7 (cm). Vì 8 > 7 (tức là 8 > 3 + 4), độ dài cạnh lớn nhất lại lớn hơn tổng hai cạnh kia nên vi phạm bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 3 cm; 8 cm; 4 cm KHÔNG THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu b) Xét bộ ba độ dài: 5 cm; 3 cm; 7 cm. Ta thấy đoạn thẳng dài nhất là 7 cm. Tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại là: 5 + 3 = 8 (cm). Vì 7 < 8 (tức là 7 < 5 + 3), độ dài cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia nên thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba 5 cm; 3 cm; 7 cm CÓ THỂ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 2 (Vận dụng bất đẳng thức vào tam giác cân): Cho tam giác cân có độ dài hai trong ba cạnh là 2 cm, 5 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Suy luận các trường hợp cạnh của tam giác cân. Vì đây là tam giác cân nên nó phải có hai cạnh bằng nhau. Do đó, độ dài ba cạnh của tam giác này chỉ có thể rơi vào một trong hai trường hợp: Trường hợp 1: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 2 cm, 5 cm. Trường hợp 2: Độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm.

Bước 2: Kiểm tra bất đẳng thức tam giác cho từng trường hợp. Xét trường hợp 1 (2 cm, 2 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 2 = 4 (cm). Vì 4 < 5 (tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại) nên trường hợp này không thoả mãn bất đẳng thức tam giác, không thể tạo thành tam giác.

Xét trường hợp 2 (2 cm, 5 cm, 5 cm): Cạnh dài nhất là 5 cm. Tổng hai cạnh còn lại là 2 + 5 = 7 (cm). Vì 7 > 5 nên trường hợp này hoàn toàn hợp lệ.

Bước 3: Kết luận và tính chu vi. Vậy tam giác cân đó bắt buộc phải có độ dài ba cạnh là 2 cm, 5 cm, 5 cm. Chu vi của tam giác là tổng độ dài ba cạnh: 2 + 5 + 5 = 12 (cm).

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu về hai loại đường và sự đồng quy của chúng:

  • Về đường trung tuyến:

    • Khái niệm: Đoạn thẳng nối đỉnh của một tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác đó.
    • Sự đồng quy (Trọng tâm): Trong một tam giác, ba đường trung tuyến luôn cùng đi qua một điểm (gọi là đồng quy). Điểm gặp nhau này được gọi là trọng tâm của tam giác.
    • Tính chất tỉ lệ: Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. (Ví dụ: Nếu G là trọng tâm và AM là trung tuyến thì GA = 2/3 AM; hoặc nhìn theo cách khác là GA = 2 lần GM).

  • Về đường phân giác:

    • Khái niệm: Đoạn thẳng chia một góc của tam giác thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện gọi là đường phân giác của tam giác.
    • Sự đồng quy: Ba đường phân giác của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
    • Tính chất: Điểm đồng quy của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

2. Kĩ năng giải toán

  • Biết cách dùng thước và compa (hoặc thước đo góc) để dựng đường trung tuyến và đường phân giác.
  • Vận dụng "tỉ lệ 2/3" của trọng tâm để tính toán độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các tính chất liên quan.
  • Vận dụng tính chất "cách đều ba cạnh" của điểm đồng quy phân giác để giải quyết các bài toán về khoảng cách.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ (Vận dụng tính chất trọng tâm của tam giác): Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của GN; lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm trên cùng một đường thẳng. Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC và G là trọng tâm, nên A, G, M thẳng hàng. Theo giả thiết, M là trung điểm của GN và M cũng là trung điểm của AD. Do đó, các điểm A, G, M, N, D đều cùng nằm trên một đường thẳng.

Bước 2: Tìm mối liên hệ tỉ lệ để chứng minh trọng tâm mới. Xét tam giác BCD, ta có M là trung điểm của cạnh BC. => DM chính là một đường trung tuyến của tam giác BCD (xuất phát từ đỉnh D).

Bây giờ ta sẽ xét tỉ lệ của điểm N trên đoạn trung tuyến DM này: Vì M là trung điểm của GN (giả thiết) nên khoảng cách MN = GM. Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM = 1/3 độ dài đoạn AM. => Suy ra: MN = 1/3 AM.

Lại có, M là trung điểm của AD (giả thiết) nên đoạn AM = đoạn DM. Thay DM vào đẳng thức trên, ta được: MN = 1/3 DM.

Bước 3: Kết luận. Trong tam giác BCD, đường trung tuyến là DM. Điểm N nằm trên DM và cách trung điểm M một khoảng bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến DM (hay nói cách khác, N cách đỉnh D một khoảng bằng 2/3 độ dài DM). => Theo tính chất, N chính là trọng tâm của tam giác BCD.

Vì N là trọng tâm của tam giác BCD, nên bất kỳ đường thẳng nào đi qua đỉnh và trọng tâm đều là đường trung tuyến. => Đường thẳng CN kéo dài chính là đường trung tuyến xuất phát từ C của tam giác BCD. => Do đó, đường thẳng CN chắc chắn phải đi qua trung điểm của cạnh đối diện, tức là đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD (điều phải chứng minh).

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

1. Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta tìm hiểu thêm về hai loại đường đồng quy còn lại:

  • Về đường trung trực:

    • Khái niệm: Đường trung trực của mỗi cạnh trong tam giác được gọi là một đường trung trực của tam giác đó (nhắc lại: đường trung trực là đường đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng).
    • Sự đồng quy: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm (đồng quy).
    • Tính chất: Điểm đồng quy này cách đều ba đỉnh của tam giác. (Ví dụ: Nếu ba đường trung trực cắt nhau tại điểm O thì ta luôn có khoảng cách OA = OB = OC).

  • Về đường cao:

    • Khái niệm: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao xuất phát từ đỉnh đó của tam giác.
    • Sự đồng quy: Ba đường cao của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm.
    • Tên gọi: Điểm giao nhau của ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác.

2. Kĩ năng giải toán

  • Biết cách dùng thước thẳng, ê-ke và compa để vẽ chính xác đường trung trực và đường cao của tam giác.
  • Vận dụng tính chất "cách đều ba đỉnh" của giao điểm ba đường trung trực để giải quyết các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
  • Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cao (trực tâm) để chứng minh tính vuông góc giữa các đường thẳng trong tam giác.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Đây là một bài toán chứng minh cực kỳ kinh điển và quan trọng về tính chất của tam giác vuông, được trích xuất từ Ví dụ 1 (trang 57 sách bài tập):

Đề bài: Chứng minh hai tính chất sau: a) Ba đường trung trực của tam giác vuông luôn đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền. b) Nếu điểm đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác nằm trên một cạnh của tam giác, thì tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông.

Bài giải chi tiết:

Câu a) Chứng minh chiều thuận:

  • Bước 1: Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là giao điểm của đường trung trực cạnh AB với cạnh huyền BC.
  • Bước 2: Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên M cách đều A và B. Suy ra MA = MB.
  • Bước 3: Vì MA = MB nên tam giác MAB là tam giác cân tại M. Từ đó ta có: góc MAB = góc B.
  • Bước 4: Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), ta có: góc C + góc B = 90 độ. Mặt khác, ngay tại đỉnh A ta cũng có: góc MAC + góc MAB = 90 độ.
  • Bước 5: Vì góc MAB = góc B (chứng minh ở bước 3), nên để hai tổng trên cùng bằng 90 độ, bắt buộc góc MAC phải bằng góc C.
  • Bước 6: Vì góc MAC = góc C nên tam giác MAC là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MC.
  • Bước 7: Từ (MA = MB) và (MA = MC), ta kết luận được MA = MB = MC. Điều này có nghĩa là điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C. Mà theo tính chất, điểm cách đều ba đỉnh chính là điểm đồng quy của ba đường trung trực. Đồng thời vì MB = MC nên M chính là trung điểm của cạnh BC. => Vậy ba đường trung trực của tam giác vuông đồng quy tại trung điểm của cạnh huyền.

Câu b) Chứng minh chiều đảo:

  • Bước 1: Giả sử điểm M là điểm đồng quy của ba đường trung trực và M lại nằm trên cạnh BC của tam giác ABC.
  • Bước 2: Theo tính chất điểm đồng quy của đường trung trực, M sẽ cách đều ba đỉnh. Suy ra: MA = MB = MC.
  • Bước 3: Vì MB = MC và M nằm trên BC nên M là trung điểm của BC.
  • Bước 4: Vì MA = MB nên tam giác MAB cân tại M. Suy ra: góc MAB = góc B.
  • Bước 5: Vì MA = MC nên tam giác MAC cân tại M. Suy ra: góc MAC = góc C.
  • Bước 6: Xét tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có: góc A + góc B + góc C = 180 độ.
  • Bước 7: Ta thay góc B bằng góc MAB, và thay góc C bằng góc MAC vào tổng trên, ta được: góc A + góc MAB + góc MAC = 180 độ.
  • Bước 8: Mà (góc MAB + góc MAC) cộng lại chính là toàn bộ góc A. Nên phương trình trên trở thành: góc A + góc A = 180 độ, tức là 2 lần góc A = 180 độ. Suy ra góc A = 90 độ. => Tam giác ABC có góc A bằng 90 độ nên nó chính là tam giác vuông. (Điều phải chứng minh)
Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương IX

Chương này là nền tảng hình học cực kỳ quan trọng, bạn chỉ cần "bỏ túi" 4 nhóm tính chất sau:

  • Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện: Trong một tam giác, góc lớn hơn thì đối diện với cạnh dài hơn, và ngược lại cạnh dài hơn thì đối diện với góc lớn hơn.
  • Đường vuông góc và đường xiên: Trong tất cả các đường kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất. Độ dài của nó chính là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng.
  • Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
  • Sự đồng quy của 4 loại đường đặc biệt:
    • 3 đường trung tuyến: Cắt nhau tại Trọng tâm. Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
    • 3 đường phân giác: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác.
    • 3 đường trung trực: Cắt nhau tại một điểm. Điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác.
    • 3 đường cao: Cắt nhau tại Trực tâm.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương IX)

Dưới đây là 2 bài toán trắc nghiệm vô cùng thú vị, đòi hỏi bạn phải kết hợp nhiều kiến thức đã học để tìm ra đáp án.

Ví dụ 1 (Kết hợp đường trung tuyến và bất đẳng thức tam giác - Trích Câu 5 trang 59) Đề bài: Xét hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác ABC có BC = 4 cm. Trong các số sau, số nào có thể là tổng độ dài BM + CN? A. 5 cm B. 5,5 cm C. 6 cm D. 6,5 cm

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Theo tính chất, G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
  • Bước 2: Xét tam giác nhỏ GBC nằm bên trong tam giác lớn. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. Ta có: GB + GC > BC.
  • Bước 3: Thay số liệu vào bất đẳng thức. Đề bài cho BC = 4 cm, nên ta có: GB + GC > 4 (1).
  • Bước 4: Sử dụng tính chất trọng tâm để liên kết với BM và CN. Vì G là trọng tâm, nên đoạn GB = 2/3 BM, và đoạn GC = 2/3 CN.
  • Bước 5: Thay tính chất này vào bất đẳng thức (1), ta được: 2/3 BM + 2/3 CN > 4 Rút nhân tử chung ra ngoài: 2/3 (BM + CN) > 4
  • Bước 6: Giải bất phương trình để tìm tổng BM + CN: BM + CN > 4 : (2/3) BM + CN > 4 * (3/2) BM + CN > 6 (cm).
  • Kết luận: Tổng độ dài hai đường trung tuyến BM + CN bắt buộc phải lớn hơn 6 cm. Trong 4 đáp án đưa ra, chỉ có 6,5 cm là thoả mãn. => Chọn đáp án D.

Ví dụ 2 (Kết hợp tổng 3 góc và đường phân giác - Trích Câu 6 trang 59) Đề bài: Tam giác ABC có số đo ba góc thoả mãn góc A = góc B + góc C. Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Khi đó góc BIC có số đo là bao nhiêu? A. 120 độ B. 125 độ C. 130 độ D. 135 độ

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tìm số đo cụ thể của góc A, B, C. Ta biết tổng 3 góc trong tam giác ABC là: góc A + góc B + góc C = 180 độ. Đề bài cho: góc A = góc B + góc C. Ta gom (góc B + góc C) lại và thay bằng góc A, ta được: góc A + góc A = 180 độ 2 lần góc A = 180 độ => góc A = 90 độ.
  • Bước 2: Từ đó, suy ra tổng của hai góc còn lại: góc B + góc C = 90 độ.
  • Bước 3: Chuyển sự chú ý sang tam giác IBC (tạo bởi điểm phân giác I). Tổng 3 góc trong tam giác IBC là: góc BIC + góc IBC + góc ICB = 180 độ. => góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB).
  • Bước 4: Liên kết góc nhỏ với góc lớn. Vì IB là tia phân giác của góc B, nên góc IBC = 1/2 góc B. Vì IC là tia phân giác của góc C, nên góc ICB = 1/2 góc C. Suy ra tổng hai góc nhỏ: góc IBC + góc ICB = 1/2 góc B + 1/2 góc C = 1/2 (góc B + góc C).
  • Bước 5: Thay số vào để tính kết quả. Ta đã biết ở Bước 2 là (góc B + góc C) = 90 độ. Vậy: góc IBC + góc ICB = 1/2 * 90 độ = 45 độ. Thay vào phương trình ở Bước 3, ta có: góc BIC = 180 độ - 45 độ = 135 độ.
  • Kết luận: Góc BIC bằng 135 độ. => Chọn đáp án D.

Hai ví dụ trên là minh chứng tuyệt vời cho việc kết hợp các định lí cơ bản lại với nhau để giải những bài toán phức tạp hơn.

Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

1. Kiến thức cần nhớ

  • Hình hộp chữ nhật:

    • Có 6 mặt đều là các hình chữ nhật, 8 đỉnh, 12 cạnh, 4 đường chéo.
    • Các cạnh bên luôn song song và bằng nhau.
    • Diện tích xung quanh: Sxq = 2(a + b)c (Trong đó a, b là chiều dài và chiều rộng của đáy; c là chiều cao).
    • Thể tích: V = a.b.c

  • Hình lập phương:

    • Là một hình hộp chữ nhật đặc biệt có 6 mặt đều là các hình vuông.
    • Diện tích xung quanh: Sxq = 4a² (Trong đó a là độ dài cạnh).
    • Thể tích: V = a³

2. Kĩ năng giải toán

  • Mô tả và gọi tên chính xác các yếu tố cơ bản (đỉnh, cạnh, góc, mặt, đường chéo) của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
  • Biết cách áp dụng công thức để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích và thể tích.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Nhận biết các yếu tố cơ bản): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hãy gọi tên các đỉnh, cạnh, đường chéo và các mặt của hình hộp chữ nhật này.

Bài giải chi tiết:

  • Các đỉnh (có 8 đỉnh): A, B, C, D, A', B', C', D'.
  • Các cạnh (có 12 cạnh): AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A', AA', BB', CC', DD'.
  • Các đường chéo (có 4 đường chéo): AC', BD', CA', DB'.
  • Các mặt (có 6 mặt): ABCD, A'B'C'D' (hai mặt đáy); và ABB'A', BCC'B', CDD'C', ADD'A' (bốn mặt bên).

Ví dụ 2 (Tính diện tích và thể tích hình lập phương): Một hình lập phương có cạnh dài 5 cm. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lập phương đó.

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tính diện tích xung quanh. Áp dụng công thức Sxq = 4a². Ta có: Sxq = 4 . 5² Sxq = 4 . 25 = 100 (cm²).
  • Bước 2: Tính thể tích. Áp dụng công thức V = a³. Ta có: V = 5³ V = 5 . 5 . 5 = 125 (cm³).
  • Kết luận: Diện tích xung quanh là 100 cm² và thể tích là 125 cm³.

Ví dụ 3 (Bài toán thực tế về hình hộp chữ nhật): Bạn Khôi làm một chiếc hộp để đựng quà sinh nhật bằng bìa cứng. Hộp có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm, chiều cao 10 cm. a) Tính thể tích của chiếc hộp. b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm chiếc hộp (bao gồm cả đáy và nắp).

Bài giải chi tiết:

Câu a) Tính thể tích của chiếc hộp: Áp dụng công thức tính thể tích V = a.b.c Thay số: V = 30 . 20 . 10 V = 6000 (cm³).

Câu b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm hộp:

  • Bước 1: Tính diện tích xung quanh của hộp. Áp dụng công thức Sxq = 2(a + b)c. Thay số: Sxq = 2 . (30 + 20) . 10 Sxq = 2 . 50 . 10 = 1000 (cm²).

  • Bước 2: Tính diện tích của hai mặt đáy (đáy và nắp). Diện tích của một mặt đáy là hình chữ nhật: Sđáy = dài . rộng Sđáy = 30 . 20 = 600 (cm²). Vì hộp có nắp nên diện tích hai đáy (cả trên và dưới) là: 2 . 600 = 1200 (cm²).

  • Bước 3: Tính tổng diện tích bìa cứng. Diện tích bìa cứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy. S = Sxq + 2 . Sđáy S = 1000 + 1200 = 2200 (cm²).

  • Kết luận: Thể tích hộp là 6000 cm³ và diện tích bìa cứng cần dùng là 2200 cm².

Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác.

1. Kiến thức cần nhớ

  • Đặc điểm của hình lăng trụ đứng tam giác (và tứ giác):
    • Hai mặt đáy luôn song song với nhau.
    • Các mặt bên đều là những hình chữ nhật.
    • Các cạnh bên luôn song song và bằng nhau. Độ dài của một cạnh bên chính là chiều cao của lăng trụ đứng.
  • Công thức tính diện tích xung quanh:
    • Sxq = C . h.
    • (Trong đó: Sxq là diện tích xung quanh; C là chu vi của một mặt đáy; h là chiều cao của hình lăng trụ).
  • Công thức tính thể tích:
    • V = Sđáy . h.
    • (Trong đó: V là thể tích; Sđáy là diện tích của một mặt đáy; h là chiều cao của hình lăng trụ).

2. Kĩ năng giải toán

  • Nhận biết và mô tả được các yếu tố của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác.
  • Tính toán thành thạo diện tích xung quanh và thể tích của hai loại hình khối này.
  • Giải quyết được các bài toán thực tiễn (như tính toán vật liệu làm hộp, sức chứa của bể...) liên quan đến việc tính diện tích và thể tích.

3. Ví dụ tham khảo chi tiết

Ví dụ 1 (Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng tam giác): Tính diện tích xung quanh của một lăng trụ đứng tam giác có chiều cao là 10 cm, biết đáy của nó là một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm.

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tính chu vi mặt đáy (C). Đáy là hình tam giác nên chu vi bằng tổng độ dài ba cạnh. Ta có: C = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).
  • Bước 2: Tính diện tích xung quanh. Áp dụng công thức Sxq = C . h. Ta có: Sxq = 12 . 10 = 120 (cm²).
  • Kết luận: Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng tam giác là 120 cm².

Ví dụ 2 (Tính thể tích hình lăng trụ đứng tứ giác): Cho một hình lăng trụ đứng tứ giác có chiều cao là 30 cm. Biết đáy của nó là một hình thang vuông có độ dài hai đáy lần lượt là 20 cm và 15 cm, chiều cao của hình thang vuông đó là 10 cm. Hãy tính thể tích của hình lăng trụ đứng này.

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tính diện tích mặt đáy (Sđáy). Đáy lăng trụ là hình thang vuông, áp dụng công thức diện tích hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé) . chiều cao / 2. Ta có: Sđáy = (20 + 15) . 10 / 2 = 35 . 5 = 175 (cm²).
  • Bước 2: Tính thể tích lăng trụ đứng. Áp dụng công thức V = Sđáy . h. Ta có: V = 175 . 30 = 5250 (cm³).
  • Kết luận: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác là 5250 cm³.
Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

1. Hệ thống kiến thức trọng tâm Chương X

Trong chương này, chúng ta cần phân biệt rõ ràng đặc điểm và ghi nhớ công thức của hai nhóm hình khối chính:

  • Nhóm 1: Hình hộp chữ nhật và Hình lập phương

    • Đặc điểm chung: Đều có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh và 4 đường chéo.
    • Hình hộp chữ nhật: Sxq = 2(a + b)c; Thể tích V = a.b.c (với a, b là chiều dài, chiều rộng; c là chiều cao).
    • Hình lập phương (trường hợp đặc biệt): 6 mặt đều là hình vuông. Sxq = 4a²; Thể tích V = a³ (với a là độ dài cạnh).

  • Nhóm 2: Hình lăng trụ đứng tam giác và Hình lăng trụ đứng tứ giác

    • Đặc điểm: Hai mặt đáy song song với nhau. Các mặt bên luôn luôn là những hình chữ nhật,. Các cạnh bên song song, bằng nhau và chính là chiều cao của lăng trụ.
    • Diện tích xung quanh: Sxq = Chu vi đáy . chiều cao.
    • Thể tích: V = Diện tích đáy . chiều cao.

2. Ví dụ ôn tập chi tiết (Trích từ phần Ôn tập Chương X)

Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng làm các dạng bài tập từ nhận biết lý thuyết đến áp dụng thực tế nhé.

Ví dụ 1 (Ôn tập lý thuyết qua trắc nghiệm - Trích câu 3, 4, 5 trang 67) Hỏi: a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh? b) Hình lập phương có bao nhiêu đường chéo? c) Mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác là hình gì?

Trả lời nhanh: a) Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh. b) Hình lập phương có 4 đường chéo. c) Mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác luôn là hình chữ nhật.

Ví dụ 2 (Áp dụng công thức cơ bản - Trích Bài 10.16 trang 68) Đề bài: Cho một hình hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 8 cm, chiều rộng 5 cm, chiều cao 6 cm. Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật. Áp dụng công thức V = dài . rộng . cao. Ta có: V = 8 . 5 . 6 = 240 (cm³).

  • Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật. Áp dụng công thức Sxq = 2 . (dài + rộng) . cao. Ta có: Sxq = 2 . (8 + 5) . 6 Sxq = 2 . 13 . 6 = 156 (cm²).

  • Kết luận: Thể tích của hình là 240 cm³ và diện tích xung quanh là 156 cm².

Ví dụ 3 (Bài toán thực tế tổng hợp - Trích Bài 10.17 trang 68) Đề bài: Một thùng đựng hàng CÓ NẮP dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 3 m, chiều rộng 2 m, chiều cao 1,8 m. Người thợ cần sơn toàn bộ mặt ngoài của chiếc thùng đó. Biết rằng mỗi kilôgam sơn có thể sơn được 5 m² mặt thùng. Hỏi người thợ cần dùng bao nhiêu kilôgam sơn?

Bài giải chi tiết:

  • Bước 1: Tính diện tích xung quanh (các mặt bên) của chiếc thùng. Áp dụng công thức Sxq = 2 . (dài + rộng) . cao. Ta có: Sxq = 2 . (3 + 2) . 1,8 = 2 . 5 . 1,8 = 18 (m²).

  • Bước 2: Tính diện tích hai mặt đáy (gồm phần đáy thùng và nắp thùng). Diện tích một mặt đáy là: 3 . 2 = 6 (m²). Vì thùng có nắp nên diện tích hai đáy là: 2 . 6 = 12 (m²).

  • Bước 3: Tính tổng diện tích bề mặt cần sơn. Diện tích toàn phần = Diện tích xung quanh + Diện tích hai đáy. Diện tích toàn phần = 18 + 12 = 30 (m²).

  • Bước 4: Tính số kilôgam sơn cần dùng. Biết 1 kg sơn được 5 m², để sơn 30 m² ta cần thực hiện phép chia. Số kilôgam sơn cần là: 30 : 5 = 6 (kg).

  • Kết luận: Người thợ cần dùng tổng cộng 6 kg sơn.

Bài tập ôn tập cuối năm

1. Mảng Số học và Đại số

  • Số hữu tỉ và Số thực: Sắp xếp, biểu diễn các số hữu tỉ, số thực (chứa căn bậc hai) trên trục số; tính toán giá trị biểu thức, so sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính giá trị tuyệt đối.
  • Đại lượng tỉ lệ: Giải các bài toán thực tế liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận (ví dụ: chia số lượng thu gom giấy vụn theo các tỉ lệ cho trước) và đại lượng tỉ lệ nghịch (ví dụ: bài toán vận tốc và thời gian của hai xe).
  • Đa thức một biến: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân đa thức; tính giá trị của đa thức tại một điểm cụ thể, phân tích nghiệm và tìm đa thức chưa biết.

2. Mảng Hình học

  • Góc và đường thẳng song song: Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, góc so le trong, góc đồng vị để tính toán số đo góc và chứng minh các tam giác bằng nhau.
  • Tam giác: Chứng minh hai tam giác bằng nhau, vận dụng các tính chất của tam giác cân để tính góc và chứng minh đoạn thẳng.
  • Các đường đồng quy trong tam giác: Nhận biết, chứng minh sự đồng quy của ba đường cao (trực tâm), đường trung tuyến; thực hành kỹ năng dựng hình bằng thước và compa.

3. Mảng Thống kê và Xác suất

  • Thống kê: Đọc, phân tích và đưa ra nhận xét từ dữ liệu trên biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình quạt tròn; đánh giá phương pháp thu thập dữ liệu và tính đại diện của dữ liệu.
  • Xác suất của biến cố: Tìm số lượng phần tử để thoả mãn điều kiện của biến cố (chắc chắn, không thể) và tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên thông qua bài toán bốc bi ngẫu nhiên từ trong hộp.
Trang sau Trang kế tiếp