📖 Bài 7: Tập hợp các thực - Toán lớp 7

1. Tập hợp số thực $\mathbb{R}$ là gì? Bí kíp nắm vững kiến thức từ A-Z

Bạn đã bao giờ thắc mắc tại sao lại có quá nhiều loại số như số nguyên, phân số hay những số "kỳ lạ" như $\sqrt{2}$ và $\pi$? Tất cả chúng đều thuộc về một "đại gia đình" quyền lực mang tên Tập hợp số thực $\mathbb{R}$. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng giải mã chi tiết về số thực, cách biểu diễn trên trục số và mẹo tính giá trị tuyệt đối cực nhanh. Đừng bỏ lỡ vì đây chính là nền tảng quan trọng nhất của toán học phổ thông!

Khám phá

• Định nghĩa: Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

• Kí hiệu: Tập hợp các số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$.

• Mối quan hệ giữa các tập hợp số:

  • Mọi số tự nhiên đều là số nguyên:

    $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

  • Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ:

    $$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

  • Mọi số hữu tỉ và số vô tỉ đều là số thực:

    $$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}; I \subset \mathbb{R}$$

2. Biểu diễn số thực trên trục số 

Mỗi số thực đều có một "địa chỉ" duy nhất trên trục số.

• Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

• Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

• Vì vậy, ta thường gọi trục số là trục số thực.

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực 

Giá trị tuyệt đối của một số thực $a$ chính là khoảng cách từ điểm $a$ trên trục số tới gốc $0$.

• Kí hiệu: $|a|$

• Công thức tính:

  $$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \geq 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases}$$

4. Cách so sánh hai số thực bất kỳ 

Việc so sánh số thực tuân theo các quy tắc logic sau:

• Thứ tự trên trục số: Nếu điểm $x$ đứng trước điểm $y$ thì

  $$x < y$$

  .

• Tính chất bắc cầu: Nếu

  $$x < y$$

  và

  $$y < z$$

  thì

  $$x < z$$

  .

• So sánh căn bậc hai: Với hai số thực dương $a$ và $b$, nếu

  $$a < b$$

  thì

  $$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$

  .

5. Ví dụ minh họa và Bài tập vận dụng 

Ví dụ 1: Chứng minh số thực là số vô tỉ

Đề bài: Biết $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Chứng minh $3 - \sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử $3 - \sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó ta có thể viết:

$$3 - \sqrt{2} = \frac{p}{q} \quad (p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0)$$

$$\Rightarrow \sqrt{2} = 3 - \frac{p}{q} = \frac{3q - p}{q}$$

Vì $p, q, 3$ là các số nguyên nên

$$\frac{3q - p}{q}$$

là số hữu tỉ. Điều này mâu thuẫn với việc $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Vậy $3 - \sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Ví dụ 2: So sánh giá trị tuyệt đối

Đề bài: Cho số thực dương $\alpha$ và số thực $x$ thỏa mãn

$$-\alpha \leq x \leq \alpha$$

. So sánh $|x|$ với $\alpha$.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm $x$ đến gốc $0$ không vượt quá $\alpha$.

Do đó, ta có:

$$|x| \leq \alpha$$

Như vậy, chúng ta đã cùng nhau khám phá trọn vẹn về tập hợp số thực $\mathbb{R}$ – từ những định nghĩa cơ bản đến các mẹo giải bài tập giá trị tuyệt đối không lo bị "bẫy". Việc làm chủ số thực sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các dạng toán so sánh hay biến đổi căn thức phức tạp sau này.

Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về cách phá dấu giá trị tuyệt đối hay muốn tìm hiểu thêm các dạng bài tập nâng cao, đừng ngần ngại để lại bình luận bên dưới nhé! Chúc các bạn học tập thật tốt!