Chào em! Rất vui được đồng hành cùng em trong buổi học hôm nay. "Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau" là một trong những bài học trọng tâm và quan trọng nhất của chương trình Toán 7. Dạng toán này sẽ còn xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới.

Thầy/Cô đã biên soạn một Phiếu Bài Tập thật đầy đủ, chi tiết từ lý thuyết, bài tập mẫu đến bài tập tự luyện và đáp án để em có thể tự học cũng như kiểm tra lại kết quả của mình. Hãy lấy nháp, bút và cùng bắt đầu nhé!

PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 7

BÀI: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT (Ngắn gọn, dễ nhớ)

1. Tính chất của hai tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \\(\frac{c}{d}\\)\), ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \\(\frac{c}{d}\\) = \\(\frac{a + c}{b + d}\\) = \\(\frac{a - c}{b - d}\\) \quad (b \neq \pm d)\)

2. Mở rộng cho dãy ba tỉ số bằng nhau

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \\(\frac{c}{d}\\) = \\(\frac{e}{f}\\)\), ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \\(\frac{c}{d}\\) = \\(\frac{e}{f}\\) = \\(\frac{a + c + e}{b + d + f}\\) = \\(\frac{a - c + e}{b - d + f}\\) \quad (\text{Giả thiết các mẫu thức đều khác } 0)\)

3. Chú ý bài toán chia tỉ lệ

Khi nói các số \(a, b, c\) tỉ lệ với các số \(x, y, z\) (với \(x, y, z \neq 0\)), ta có dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{x} = \\(\frac{b}{y}\\) = \\(\frac{c}{z}\\)\)

(Hoặc viết gọn là \(a : b : c = x : y : z\))

II. BÀI TẬP MẪU (Có lời giải chi tiết)

Dạng 1: Tìm \(x, y, z\) trực tiếp từ dãy tỉ số bằng nhau

Đề bài: Tìm \(x, y\) biết: \(\frac{x}{3} = \\(\frac{y}{5}\\)\) và \(x + y = 32\).

Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \\(\frac{y}{5}\\) = \\(\frac{x + y}{3 + 5}\\) = \\(\frac{32}{8}\\) = 4\)

Từ đó suy ra:

• \(\frac{x}{3} = 4 \Rightarrow x = 4 \cdot 3 = 12\)
• \(\frac{y}{5} = 4 \Rightarrow y = 4 \cdot 5 = 20\)

Vậy \(x = 12\) và \(y = 20\).

Dạng 2: Bài toán có lời văn (Ứng dụng thực tế)

Đề bài: Số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với các số \(8; 9; 10\). Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng tổng số học sinh của ba lớp là \(135\) học sinh.

Lời giải:
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(x, y, z\) (học sinh) (\(x, y, z \in \mathbb{N}^*\)).
Theo đề bài, ta có:

• Số học sinh ba lớp tỉ lệ với \(8; 9; 10 \Rightarrow \\(\frac{x}{8}\\) = \\(\frac{y}{9}\\) = \\(\frac{z}{10}\\)\)
• Tổng số học sinh là \(135 \Rightarrow x + y + z = 135\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{8} = \\(\frac{y}{9}\\) = \\(\frac{z}{10}\\) = \\(\frac{x + y + z}{8 + 9 + 10}\\) = \\(\frac{135}{27}\\) = 5\)

Do đó:

• \(\frac{x}{8} = 5 \Rightarrow x = 5 \cdot 8 = 40\) (thỏa mãn)
• \(\frac{y}{9} = 5 \Rightarrow y = 5 \cdot 9 = 45\) (thỏa mãn)
• \(\frac{z}{10} = 5 \Rightarrow z = 5 \cdot 10 = 50\) (thỏa mãn)

Vậy số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(40\) học sinh, \(45\) học sinh và \(50\) học sinh.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Mức độ 1: Nhận biết & Thông hiểu

• Bài 1: Tìm hai số \(x, y\) biết: \(\frac{x}{4} = \\(\frac{y}{7}\\)\) và \(x + y = 55\).
• Bài 2: Tìm hai số \(a, b\) biết: \(\frac{a}{9} = \\(\frac{b}{4}\\)\) và \(a - b = 20\).
• Bài 3: Tìm các số \(x, y, z\) biết: \(\frac{x}{2} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{5}\\)\) và \(x + y + z = 60\).
• Bài 4: Tìm các số \(x, y, z\) biết: \(\frac{x}{5} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{2}\\)\) và \(x - z = 12\).

2. Mức độ 2: Vận dụng

• Bài 5: Ba bạn An, Bình, Cường góp tiền mua bóng bóng đá. Số tiền góp của ba bạn An, Bình, Cường tỉ lệ với các số \(3; 4; 5\). Biết rằng Cường góp nhiều hơn An là \(60.000\) đồng. Hỏi mỗi bạn góp bao nhiêu tiền?
• Bài 6: Chu vi của một tam giác là \(36\text{ cm}\). Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó, biết độ dài ba cạnh tỉ lệ với \(3; 4; 5\).
• Bài 7: Hai lớp 7A và 7B tham gia phong trào thu gom giấy vụn. Biết rằng tỉ số giữa số kg giấy vụn gom được của lớp 7A và lớp 7B là \(\frac{4}{5}\) và lớp 7B gom được nhiều hơn lớp 7A là \(15\text{ kg}\). Tính số kg giấy vụn mỗi lớp gom được.

3. Mức độ 3: Vận dụng cao

• Bài 8: Tìm các số \(x, y, z\) khác \(0\) biết:

\(\frac{x}{2} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{4}\\) \quad \text{và} \quad x^2 + y^2 + z^2 = 116\)

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

Bài 1:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{4} = \\(\frac{y}{7}\\) = \\(\frac{x + y}{4 + 7}\\) = \\(\frac{55}{11}\\) = 5\)

• \(x = 5 \cdot 4 = 20\)
• \(y = 5 \cdot 7 = 35\)

Đáp số: \(x = 20; y = 35\).

Bài 2:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{9} = \\(\frac{b}{4}\\) = \\(\frac{a - b}{9 - 4}\\) = \\(\frac{20}{5}\\) = 4\)

• \(a = 4 \cdot 9 = 36\)
• \(b = 4 \cdot 4 = 16\)

Đáp số: \(a = 36; b = 16\).

Bài 3:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{2} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{5}\\) = \\(\frac{x + y + z}{2 + 3 + 5}\\) = \\(\frac{60}{10}\\) = 6\)

• \(x = 6 \cdot 2 = 12\)
• \(y = 6 \cdot 3 = 18\)
• \(z = 6 \cdot 5 = 30\)

Đáp số: \(x = 12; y = 18; z = 30\).

Bài 4:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{5} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{2}\\) = \\(\frac{x - z}{5 - 2}\\) = \\(\frac{12}{3}\\) = 4\)

• \(x = 4 \cdot 5 = 20\)
• \(y = 4 \cdot 3 = 12\)
• \(z = 4 \cdot 2 = 8\)

Đáp số: \(x = 20; y = 12; z = 8\).

Bài 5:

Gọi số tiền góp của An, Bình, Cường lần lượt là \(x, y, z\) (đồng) (\(x, y, z > 0\)).
Theo bài ra ta có: \(\frac{x}{3} = \\(\frac{y}{4}\\) = \\(\frac{z}{5}\\)\) và \(z - x = 60.000\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{3} = \\(\frac{y}{4}\\) = \\(\frac{z}{5}\\) = \\(\frac{z - x}{5 - 3}\\) = \\(\frac{60.000}{2}\\) = 30.000\)

• \(x = 30.000 \cdot 3 = 90.000\) (đồng)
• \(y = 30.000 \cdot 4 = 120.000\) (đồng)
• \(z = 30.000 \cdot 5 = 150.000\) (đồng)

Đáp số: An góp \(90.000\) đồng; Bình góp \(120.000\) đồng; Cường góp \(150.000\) đồng.

Bài 6:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là \(a, b, c\) (\(\text{cm}\)) (\(a, b, c > 0\)).
Theo đề bài: \(\frac{a}{3} = \\(\frac{b}{4}\\) = \\(\frac{c}{5}\\)\) và \(a + b + c = 36\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{3} = \\(\frac{b}{4}\\) = \\(\frac{c}{5}\\) = \\(\frac{a + b + c}{3 + 4 + 5}\\) = \\(\frac{36}{12}\\) = 3\)

• \(a = 3 \cdot 3 = 9\text{ cm}\)
• \(b = 3 \cdot 4 = 12\text{ cm}\)
• \(c = 3 \cdot 5 = 15\text{ cm}\)

Đáp số: Độ dài ba cạnh là \(9\text{ cm}, 12\text{ cm}, 15\text{ cm}\).

Bài 7:

Gọi số kg giấy vụn thu gom được của lớp 7A và 7B lần lượt là \(x, y\) (\(\text{kg}\)) (\(x, y > 0\)).
Vì tỉ số giấy vụn của 7A và 7B là \(\frac{4}{5}\) nên \(\frac{x}{y} = \\(\frac{4}{5}\\) \Rightarrow \\(\frac{x}{4}\\) = \\(\frac{y}{5}\\)\).
Theo bài ra: \(y - x = 15\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{4} = \\(\frac{y}{5}\\) = \\(\frac{y - x}{5 - 4}\\) = \\(\frac{15}{1}\\) = 15\)

• \(x = 15 \cdot 4 = 60\text{ kg}\)
• \(y = 15 \cdot 5 = 75\text{ kg}\)

Đáp số: Lớp 7A gom được \(60\text{ kg}\); Lớp 7B gom được \(75\text{ kg}\).

Bài 8:

Đặt \(\frac{x}{2} = \\(\frac{y}{3}\\) = \\(\frac{z}{4}\\) = k \quad (k \neq 0)\).
Suy ra: \(x = 2k, y = 3k, z = 4k\).

Thay vào biểu thức \(x^2 + y^2 + z^2 = 116\), ta được:

\((2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 116\)

\(\Leftrightarrow 4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 116\)

\(\Leftrightarrow 29k^2 = 116\)

\(\Leftrightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2 \text{ hoặc } k = -2\)

• Trường hợp 1: \(k = 2\)

• \(x = 2 \cdot 2 = 4\)

• \(y = 3 \cdot 2 = 6\)

• \(z = 4 \cdot 2 = 8\)

• Trường hợp 2: \(k = -2\)

• \(x = 2 \cdot (-2) = -4\)

• \(y = 3 \cdot (-2) = -6\)

• \(z = 4 \cdot (-2) = -8\)

Đáp số: \((x, y, z) \in \{(4; 6; 8), (-4; -6; -8)\}\).

Thầy/Cô chúc các em học sinh làm bài thật tốt! Nếu gặp thắc mắc ở bài tập nào, các em hãy hỏi lại Thầy/Cô nhé!